17. (AFA2008) A circunferência ( ) x² y² 2x 2y k 0λ + − − + = passa pelo ponto A (0,1). Sabendo-se que o ponto P de ( )λ mais próximo da origem...

Para resolver essa questão, podemos seguir os seguintes passos: 1. Substituir as coordenadas do ponto A na equação da circunferência: (0)² + (1)² + 2(0)(1) - 2k + λ = 0 1 - 2k + λ = 0 λ = 2k - 1 2. Encontrar as coordenadas do baricentro do triângulo MNQ: xQ = (0 + 2k + xM)/3 = (2k + xM)/3 yQ = (k + 0 + yN)/3 = (k + yN)/3 3. Substituir as coordenadas do baricentro na equação de λ: (xQ)² + (yQ)² + 2(xQ)(yQ) - 2xQ - 2yQ + λ = 0 4. Substituir λ por 2k - 1: (xQ)² + (yQ)² + 2(xQ)(yQ) - 2xQ - 2yQ + 2k - 1 = 0 5. Isolar k: k = (xQ)² + (yQ)² + 2xQ + 2yQ - 1/2 6. Encontrar as coordenadas dos pontos M e N: M(0,k) e N(2k,0) 7. Calcular a área do triângulo MNQ: Área = |(xM*yN + xN*yQ + xQ*yM) - (yM*xN + yN*xQ + yQ*xM)|/2 Substituindo as coordenadas dos pontos M, N e Q, temos: Área = |(0*0 + 2k*yQ + xQ*k) - (k*2k + 0*xQ + yQ*0)|/2 Área = |2k*yQ + xQ*k - 2k²|/2 Área = |2k(yQ + k) - 2k²|/2 Área = k|yQ + k - k| = k|yQ| Substituindo k por (xQ)² + (yQ)² + 2xQ + 2yQ - 1/2, temos: Área = [(xQ)² + (yQ)² + 2xQ + 2yQ - 1/2]|yQ| 8. Substituir yQ por (k + yN)/3: yQ = (k + yN)/3 yQ = (k + 0)/3 yQ = k/3 Substituindo yQ na fórmula da área, temos: Área = [(xQ)² + (yQ)² + 2xQ + 2yQ - 1/2]|k/3| Área = [(xQ)² + (k/3)² + 2xQ + 2k/3 - 1/2]|k/3| 9. Substituir k por (xQ)² + (yQ)² + 2xQ + 2yQ - 1/2: Área = [(xQ)² + ((xQ)²/9) + 2xQ + 4/3 + 1/2 - 1/2]|((xQ)² + (yQ)² + 2xQ + 2yQ - 1/2)/3| Área = [(10(xQ)² + 12xQ + 5)/18]|((xQ)² + (yQ)² + 2xQ + 2yQ - 1/2)/3| 10. Simplificar a expressão: Área = [(5(xQ)² + 6xQ + 5)/9]|((xQ)² + (yQ)² + 2xQ + 2yQ - 1/2)/3| Área = (5(xQ)² + 6xQ + 5)|((xQ)² + (yQ)² + 2xQ + 2yQ - 1/2)/27 Portanto, a área do triângulo MNQ é um número do intervalo (E) n.d.a.