14) (ITA 1998) Considere a, b reais e a equação 2 7� � � �� � 7 � � I � 0. Sabendo que as três raízes reais )�,)�, )7 dessa equação formam, nesta o...

Podemos utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação 2x^3 - 7x^2 + bx - 7a = 0, que são dadas por: x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a Substituindo os valores a = 2, b = -7 e c = -7a na fórmula, temos: x = [-(-7) ± sqrt((-7)^2 - 4*2*(-7a))] / 2*2 x = [7 ± sqrt(49 + 56a)] / 4 Sabemos que as três raízes formam uma progressão aritmética, então podemos escrevê-las como: x1 = 7/4 - d x2 = 7/4 x3 = 7/4 + d Onde d é a razão da progressão aritmética. Sabemos também que a soma das raízes é igual a zero, então: x1 + x2 + x3 = 0 7/4 - d + 7/4 + 7/4 + d = 0 21/4 = 0 d = -21/12 Agora podemos calcular o valor de I: I = x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 I = (7/4 - d) * 7/4 + (7/4 - d) * (7/4 + d) + 7/4 * (7/4 + d) I = (49/16 - 7d/4) + (49/16 - d^2) + (49/16 + 7d/4) I = 147/16 - d^2 I = 147/16 - (21/12)^2 I = 147/16 - 7/144 I = 2337/144 Portanto, a resposta é I = 2337/144.