Lista 13_ Funções

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LISTA 13 DE FUNÇÕES - 2° DE FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
 
Prof. João Marcos 
 
1 
Nível ITA 
 
01) (ITA 2013) Determine a soma de todos os números reais x que 
satisfazem a equação 
8√��� � 44	 	2√���� � 64 
 19	�4√���� 
 
02) (ITA 2012) Considere um número real � � 1 positivo, fixado, e a 
equação em x ��� � 2��� � � 
 0, � ∈ �. 
 
Julgue as afirmações a seguir: 
I. Se � � 0, então existem duas soluções reais distintas. 
II. Se � 
 �1, então existe apenas uma solução real. 
III. Se � 
 0, então não existem soluções reais. 
IV. Se � � 0, então existem duas soluções reais distintas. 
 
03) (ITA 2012) Solucione a equação: 
 
���	� !	 " #� � �2 $ � ���	�%�	 "
 � � #�
2 $ 
&
2 
 
04) (ITA 2006) Considere a equação 
 �� � �#�
�� � �#� 
 ' 
 
na variável real x, com � � � � 1. O conjunto de todos os valores de ' 
para os quais esta equação admite solução real. 
 
05) (ITA 2003) Considere a função 
(�)�: +\	-0. → �, (�)� 
 √3�#�	�9����� 123 � �3���4�13 � 1. 
 
Determine a soma de todos os valores de x para os quais a equação 6� � 26 � (�)� 
 0 tenha raiz dupla. 
 
06) (ITA 2002) Sejam f e g duas funções definidas por 
 
(�)� 
 �√2�789:�#�	 	;�)� 
 �12�789:
2�#�, )	 ∈ �. 
 
Determine a soma do valor mínimo de f com o valor mínimo de g. 
 
07) (ITA 2001) Se � ∈ � é tal que 36� � 6 � � 
 0 tem raiz dupla, 
então determine solução da equação 
 3���� � 3� � � 
 0 
 
08) (ITA 2001) Considere as funções 
 
(�)� 
 5 � 7�4 	, ;�)� 
5 � 7�
4 ,			>�)� 
 ���	?;	). 
 
Se a é tal que >@(���A � >@;���A 
 BC, então determine (��� � ;���. 
 
09) (ITA 2000) Calcule a soma das raízes reais positivas da equação 
4�2 � 5. 2�2 � 4 
 0. 
 
10) (ITA 2000) Seja D 
 E�2,2F, julgue as afirmações a seguir. 
I. 
�
C G 	���
� � 6, para todo )	 ∈ S; 
II. 
�
√7�#�3 � �√7�, para todo )	 ∈ S; 
III. 2�� � 2� G 0, para todo	)	 ∈ S. 
 
11) (ITA 1999) Sejam f,g: � → � funções definidas por (�)� 
 	7��
�
e 
;�)� 
 	�7�
�
. Julgue as afirmações a seguir: 
 
I. O gráfico de f e g não se interceptam. 
II. As funções f e g são crescentes. 
III. (��2�. ;��1� 
 (��1�. ;��2� 
 
12) (ITA 1999) Seja � ∈ � com � � 1. Determine o conjunto de todas 
as soluções reais da inequação: �����#�� � ��#� 
 
13) (ITA 1998) Seja (: � → � a função definida por (�)� 
 �3�� , em 
que a é um número real, 0 � � � 1. Julgue as afirmações: 
 
I. (�) � 6� 
 (�)�(�6�; 
II. f é bijetora; 
III. f é crescente e (�	F	0,∞E	� 
F � 3,0E. 
 
14) (ITA 1998) Considere a, b reais e a equação 2 7� � � �� � 7 � � I 
 0. Sabendo que as três raízes reais )�,)�, )7	dessa equação formam, nesta ordem, uma progressão aritmética 
cuja soma é igual a zero, calcule � � I. 
 
15) (ITA 2013) Considere o sistema na variável real ): 
J)� � ) 
 K) � )7 
 � 
 
a) Determine os números reais K e � para que o sistema admita 
somente soluções reais. 
b) Para cada valor de � encontrado no item anterior, determine 
todas as soluções da equação ) � )7 
 �. 
 
16) (ITA) Considere as funções (: � ∗→ �, ;: � → �, >: � ∗→ � 
definidas por (�)� 
 3��13,	 
;�)� 
 )�, >�)� 
 M�� .			Determine a soma dos valores de x em � 
tais que �(%;��)� 
 �>%(��)�. 
 
17) (ITA) Sabendo que 3x-1 é fator de 12)7 � 19)� � 8) � 1, então 
determine a soma das soluções reais da equação 12�37�� �19�3��� � 8�3�� � 1 
 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
Gabarito 
 
Nível ITA 
 
01) 18 
02) F V V F 
03) {0} 
04) -1<m<1 
05) 2 
06) 0,5 
07) � log7 6 
08) 3,5 
09) √2 
10) V F F 
11) F F F 
12) -0,5 < x < 1 
13) F F V 
14) �5 
16) -2 
17) � log7 12 
 
Nível Intermediário 
01) Sejam f:Q → Q	e g:Q → Q funções definidas por x x2 2f(x)
2
−
+
= 
e 
x x2 2
g(x) .
2
−
−
= Então, podemos afirmar que 
 
a) f é crescente e g é decrescente. 
b) f e g se interceptam em x 0.= 
c) f(0) g(0).= − 
d) 2 2[f(x)] [g(x)] 1.− = 
e) f(x) 0≥ e g(x) 0,≥ ∀)	 ∈ 	Q 
 
02) Seja ( ) bx cf x a 2 += + , em que a, b e c são números reais. A 
imagem de f é a semirreta ] [1,− ∞ e o gráfico de f intercepta os eixos 
coordenados nos pontos (1, 0) e (0, - 3/4). Então, o produto abc vale 
a) 4 
b) 2 
c) 0 
d) - 2 
e) - 4 
 
03) a) Esboce, num mesmo sistema de coordenadas, os gráficos de 
f(x) = 2x e g(x) = 2x. 
 
b) Baseado nos gráficos do item (a), resolva a inequação 2x ≤ 2x. 
c) Qual é o maior: 2 elevado a 2 ou 2 multiplicado por 2 ? 
Justifique brevemente sua resposta. 
 
04) A equação 2x = - 3x + 2, com x real, 
a) não tem solução. 
b) tem uma única solução entre 0 e 2/3. 
c) tem uma única solução entre - 2/3 e 0. 
d) tem duas soluções, sendo uma positiva e outra negativa. 
e) tem mais de duas soluções. 
 
 
 
05) A função real f definida por xf(x) a 3 b,= ⋅ + sendo a e b 
constantes reais, está graficamente representada abaixo. 
 
 
 
Pode-se afirmar que o produto (a b)⋅ pertence ao intervalo real 
a) [ 4, 1[− − 
b) [ 1, 2[− 
c) [2, 5[ 
d) [5, 8] 
 
09) Os gráficos das funções exponenciais g e h são simétricos em relação 
à reta y = 0, como mostra a figura: 
 
Sendo g(x) = a + b . cx e h(x) = d + e . fx, a soma a + b + c + d + e + f 
é igual a 
a) 0. b) 
7
3
. c) 10
3
. 
 
d) 8. e) 9. 
 
 
10) O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por: 
 
onde T(t)é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado 
em minutos, TA é a temperatura ambiente, suposta constante, e á e â são 
constantes. O referido corpo foi colocado em um congelador com 
temperatura de -18°C. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 
0°C após 90 minutos e chegou a -16°C após 270 minutos. 
 
a) Encontre os valores numéricos das constantes á e â. 
b) Determine o valor de t para o qual a temperatura do corpo no 
congelador é apenas 
2
3
 
 
 
�C superior à temperatura ambiente.