Mostre que se o resto da divisão de um polinômio f(x) por x − a é r, então o resto da divisão de f(x) por c(x− a) é também r para qualquer c...

Se o resto da divisão de f(x) por x - a é r, então f(x) pode ser escrito como: f(x) = q(x)(x - a) + r onde q(x) é o quociente da divisão. Agora, vamos considerar a divisão de f(x) por c(x - a). Podemos escrever: f(x) = p(x)c(x - a) + s(x) onde p(x) é o quociente da divisão e s(x) é o resto. Queremos mostrar que s(x) = r. Podemos reescrever a expressão acima como: f(x) = c(x - a)[p(x)] + s(x) Agora, vamos avaliar essa expressão em x = a: f(a) = c(a - a)[p(a)] + s(a) f(a) = s(a) Mas sabemos que o resto da divisão de f(x) por x - a é r, então: f(a) = q(a)(a - a) + r f(a) = r Portanto, temos que s(a) = r. Mas s(x) e r são polinômios de grau menor que x - a, então eles só podem diferir por uma constante. Como s(a) = r, essa constante deve ser zero, o que implica que s(x) = r. Portanto, o resto da divisão de f(x) por c(x - a) é r para qualquer constante c.