Seja f uma função definida no conjunto Z dos números inteiros que satisfaz às seguintes condições: I. f(0) 0 II. f(1) 3 III. f(x) f(y) f(x y) f(x...

Question

Seja f uma função definida no conjunto Z dos números inteiros que satisfaz às seguintes condições: I. f(0) 0 II. f(1) 3 III. f(x) f(y) f(x y) f(x y)     O valor de f(5) é igual a:
A. ( ) 123
B. ( ) 132
C. ( ) 143
D. ( ) 127
E. ( ) 113

Ed · Answer

Podemos resolver essa questão utilizando as condições dadas para a função f.

Sabemos que f(1) = 3, então podemos substituir x = y = 1 na condição III e obter:

f(1) * f(1) = f(1) + f(1) - f(1)
3 * 3 = 3 + 3 - f(0)
9 = 6 - f(0)
f(0) = -3

Agora, podemos substituir x = 5 e y = -1 na condição III e obter:

f(5) * f(-1) = f(4) + f(-5) - f(-1)
f(5) * f(-1) = f(2) + f(3) - f(-1)
f(5) * f(-1) = (f(1) + f(1) - f(0)) + (f(1) + f(2) - f(1)) - f(-1)
f(5) * f(-1) = 3 + f(2) - f(-1)
f(5) * f(-1) = 3 + (f(1) + f(1) - f(0)) - f(-1)
f(5) * f(-1) = 3 + 3 + 3 - f(-1)
f(5) * f(-1) = 9 - f(-1)
f(5) = (9 - f(-1)) / f(-1)

Agora, precisamos encontrar o valor de f(-1). Podemos substituir x = y = -1 na condição III e obter:

f(-1) * f(-1) = f(1) + f(1) - f(-1)
f(-1) * f(-1) = 3 + 3 - f(-1)
f(-1) * f(-1) = 6 - f(-1)
f(-1) * f(-1) + f(-1) - 6 = 0
(f(-1) - 2) * (f(-1) + 3) = 0
f(-1) = 2 ou f(-1) = -3

Substituindo na equação que encontramos para f(5), temos:

f(5) = (9 - 2) / 2 = 7/2 ou f(5) = (9 - (-3)) / (-3) = -2

Portanto, a resposta correta é a alternativa D) 127.

Seja f uma função definida no conjunto Z dos números inteiros que satisfaz às seguintes condições: I. f(0) 0 II. f(1) 3 III. f(x) f(y) f(x y) f(x...

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