15. Um polinômio P (x) deixa resto 3 quando dividido por x − 1 e deixa resto 5 quando dividido por x − 3. Determine o resto da divisão de P (x) q...

Para encontrar o resto da divisão de P(x) por (x-1)(x-3), podemos utilizar o método de interpolação de Lagrange. Primeiro, vamos encontrar o polinômio de Lagrange L1(x) que passa pelos pontos (1,3) e (3,5): L1(x) = [(x-3)/(1-3)]*3 + [(x-1)/(3-1)]*5 L1(x) = (-1/2)*x + 4 Em seguida, encontramos o polinômio de Lagrange L2(x) que passa pelo ponto (1,0) e (3,0): L2(x) = [(x-3)/(1-3)]*0 + [(x-1)/(3-1)]*0 L2(x) = (1/2)*x - 1 Agora, podemos encontrar o polinômio P(x) utilizando os polinômios de Lagrange L1(x) e L2(x): P(x) = P(x)*1 + L1(x)*(-2) + L2(x)*(-4) P(x) = -2*(-1/2)*x + (-4)*(1/2)*x - 2 + 4 P(x) = -x + 1 Portanto, o resto da divisão de P(x) por (x-1)(x-3) é -x+1.