27. (ITA 2012) Em um plano estão situados uma circunferência ω de raio 2 cm e um ponto P que dista 2√2 cm do centro de ω. Considere os segmentos PA...

a) A área total da superfície do sólido é igual a soma da área lateral com a área das bases. A área lateral é dada pela integral de 2πy ds, onde y é a distância do ponto P ao eixo de rotação e ds é um elemento de comprimento do arco menor. Integrando, temos: ∫(0 até π/2) 2π(2√2sinθ)(2dθ) = 8π√2 A área das bases é igual a área de dois círculos de raio 2 cm, ou seja, 8π cm². Portanto, a área total da superfície do sólido é: 8π + 8π√2 cm² b) O volume do sólido é dado pela integral de πy² ds, onde y é a distância do ponto P ao eixo de rotação e ds é um elemento de comprimento do arco menor. Integrando, temos: ∫(0 até π/2) π(2√2sinθ)²(2dθ) = 16π/3 cm³ Portanto, o volume do sólido é 16π/3 cm³.