6. (Fac. Albert Einstein - Medicina 2016) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo tal que BC 6 cm e M é ponto médio do lado AB. Se os semicírculos no...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras e algumas propriedades dos semicírculos. Primeiramente, podemos observar que o triângulo BMP é retângulo em M, pois BM é perpendicular a AB (já que M é o ponto médio de AB). Além disso, podemos notar que o raio do semicírculo de centro P é igual a BM, e o raio do semicírculo de centro R é igual a DM. Assim, temos que: BM² + MP² = BP² (pelo Teorema de Pitágoras no triângulo BMP) DM² + MR² = DR² (pelo Teorema de Pitágoras no triângulo DMR) Como os semicírculos são tangentes entre si nos pontos M, P e R, temos que MP = RP e MP + RP = AB. Logo, podemos substituir MP por (AB - RP) nas equações acima: BM² + (AB - RP)² = BP² DM² + RP² = DR² Desenvolvendo as expressões acima, temos: BM² + AB² - 2AB·RP + RP² = BP² DM² + RP² = DR² Somando as duas equações, temos: BM² + AB² + DM² + 2RP² = BP² + DR² Como BP = DR (pois os semicírculos são tangentes em P e R), temos: BM² + AB² + DM² + 2RP² = 2BP² Substituindo BM por AB/2 (pois M é o ponto médio de AB), temos: (AB/2)² + AB² + DM² + 2RP² = 2BP² Simplificando, temos: 5AB²/4 + DM² + 2RP² = 2BP² Como BP = DR = AB/2, temos: 5AB²/4 + DM² + AB² = AB² Simplificando, temos: DM² = AB²/4 Como DM é metade de BC (pois DMR é um triângulo retângulo isósceles), temos: DM = BC/2 = 3 cm Substituindo na equação acima, temos: AB²/4 = 9 Logo, AB = 6√2 cm. Assim, a área do retângulo ABCD é: AB·BC = 6√2·6 = 36√2 cm². Portanto, a alternativa correta é a letra b) 36 2.