8. Prove que, em um triangulo isósceles a bissetriz relativa a base é altura

Seja ABC um triângulo isósceles com AB = AC. Seja BD a bissetriz do ângulo BAC e seja E o ponto de interseção de BD com o lado AC. Para provar que BD é altura, precisamos mostrar que o segmento BD é perpendicular ao lado AC. Como BD é a bissetriz do ângulo BAC, temos que m∠BAD = m∠CAD. Como ABC é isósceles, temos que AB = AC, logo m∠ABC = m∠ACB. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus, temos que: m∠ABC + m∠BAC + m∠ACB = 180 graus Substituindo m∠BAC por m∠BAD + m∠CAD, temos: m∠ABC + m∠BAD + m∠CAD + m∠ACB = 180 graus Como m∠ABC = m∠ACB, temos: 2m∠ABC + m∠BAD + m∠CAD = 180 graus Como ABC é isósceles, temos que m∠ABC = m∠ACB = (180 - m∠BAC)/2. Substituindo na equação acima, temos: 2[(180 - m∠BAC)/2] + m∠BAD + m∠CAD = 180 graus Simplificando, temos: 180 - m∠BAC + m∠BAD + m∠CAD = 180 graus m∠BAD + m∠CAD = m∠BAC Como BD é a bissetriz do ângulo BAC, temos que m∠BAD = m∠CAD, logo: 2m∠BAD = m∠BAC Como ABC é isósceles, temos que m∠ABC = m∠ACB, logo: m∠BAC = 2m∠ABC Substituindo na equação acima, temos: 2m∠BAD = 2m∠ABC m∠BAD = m∠ABC Como BD é a bissetriz do ângulo BAC, temos que m∠BAD = m∠CAD, logo: m∠CAD = m∠ABC Como ABC é isósceles, temos que AC = AB, logo os triângulos ABD e ACD são congruentes (pelo critério LAL). Portanto, BD = CD e BD é perpendicular a AC, logo BD é altura do triângulo ABC.