Exercício 45 – (UDESC, 2020) Considere um prisma cuja base é um hexágono regular e as faces laterais são quadrados. Se o seu volume for 81√3/16 cm3...

Para resolver esse exercício, precisamos utilizar a fórmula do volume do prisma, que é dada por V = Ab . h, onde Ab é a área da base e h é a altura do prisma. No enunciado, é informado que o volume do prisma é 81√3/16 cm³. Sabemos que a base é um hexágono regular, então a área da base pode ser calculada pela fórmula Ab = 3√3 . l²/2, onde l é a medida do lado do hexágono. Como o hexágono é regular, todos os lados têm a mesma medida. Para encontrar a altura do prisma, podemos utilizar o fato de que as faces laterais são quadrados. Como o prisma é reto, a altura é igual à medida do lado do quadrado. Substituindo os valores na fórmula do volume, temos: 81√3/16 = 3√3 . l²/2 . l 81√3/16 = 3√3 . l³/2 l³ = (81√3/16) . 2/3√3 l³ = 27/4 l = ∛(27/4) l = 3/2∛3 Agora que temos a medida do lado do hexágono, podemos calcular a área da base: Ab = 3√3 . (3/2∛3)²/2 Ab = 9√3/4 E a altura do prisma é igual à medida do lado do quadrado, que é 3/2√2. Para calcular a área superficial total, precisamos somar a área da base com a área das faces laterais. Como o prisma tem 6 faces laterais, cada uma com área igual a l², temos: At = Ab + 6 . l² At = 9√3/4 + 6 . (3/2∛3)² At = 9√3/4 + 27/2 At = 45/4 + 27/2 At = 45/4 + 54/4 At = 99/4 Portanto, a área superficial total é de aproximadamente 24,75 cm², que corresponde à alternativa c).