14. (Ita 2001) O raio da base de um cone circular reto é igual à média aritmética da altura e a geratriz do cone. Sabendo-se que o volume do cone é...

Vamos utilizar a fórmula do volume do cone para resolver o problema: V = (1/3) * π * r² * h Sabemos que o raio da base do cone é igual à média aritmética da altura e da geratriz, ou seja: r = (h + g)/2 Substituindo o valor de r na fórmula do volume, temos: V = (1/3) * π * [(h + g)/2]² * h Simplificando, temos: V = (1/12) * π * (h² + 2hg + g²) * h V = (1/12) * π * (h³ + 2gh² + g²h) Sabemos que o volume do cone é 128πm³, então podemos substituir esse valor na fórmula acima: 128π = (1/12) * π * (h³ + 2gh² + g²h) 128 = (1/12) * (h³ + 2gh² + g²h) Multiplicando ambos os lados por 12: 1536 = h³ + 2gh² + g²h Como r = (h + g)/2, podemos substituir o valor de r na equação acima: r = (h + g)/2 2r = h + g g = 2r - h Substituindo o valor de g na equação acima, temos: 1536 = h³ + 2h(2r - h) + (2r - h)² 1536 = h³ + 4rh - 2h² + 4r² - 4rh + h² 1536 = h³ + 4r² + h² 1536 = h²(h + 1) + 4r² Como queremos encontrar o valor de r e h, podemos utilizar as alternativas fornecidas para testar qual delas satisfaz a equação acima. Testando a alternativa (d), temos: r = 9 e h = 6 Substituindo esses valores na equação acima, temos: 1536 = 6²(6 + 1) + 4(9)² 1536 = 294 + 324 1536 = 618 Como a equação não é satisfeita pela alternativa (d), podemos testar a próxima alternativa. Testando a alternativa (b), temos: r = 8 e h = 6 Substituindo esses valores na equação acima, temos: 1536 = 6²(6 + 1) + 4(8)² 1536 = 294 + 256 1536 = 550 Como a equação não é satisfeita pela alternativa (b), podemos testar a próxima alternativa. Testando a alternativa (c), temos: r = 8 e h = 7 Substituindo esses valores na equação acima, temos: 1536 = 7²(7 + 1) + 4(8)² 1536 = 448 + 256 1536 = 704 Como a equação não é satisfeita pela alternativa (c), podemos testar a próxima alternativa. Testando a alternativa (a), temos: r = 9 e h = 8 Substituindo esses valores na equação acima, temos: 1536 = 8²(8 + 1) + 4(9)² 1536 = 648 + 324 1536 = 972 Como a equação não é satisfeita pela alternativa (a), podemos testar a última alternativa. Testando a alternativa (e), temos: r = 10 e h = 8 Substituindo esses valores na equação acima, temos: 1536 = 8²(8 + 1) + 4(10)² 1536 = 648 + 400 1536 = 1048 Como a equação não é satisfeita pela alternativa (e), concluímos que nenhuma das alternativas é a resposta correta.