15. ITA-SP O raio da base de um cone circular reto é igual à média aritmética da altura e a geratriz do cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128...

Para resolver esse problema, podemos utilizar as fórmulas do volume e da média aritmética. Sabemos que o volume do cone é 128π m³, então podemos escrever: V = (1/3)πr²h Substituindo o raio pela média aritmética da altura e da geratriz, temos: r = (h + g)/2 Onde g é a geratriz do cone. Substituindo na fórmula do volume, temos: 128π = (1/3)π[(h + g)/2]²h Simplificando, temos: 128 = (1/3)[(h + g)/2]²h Multiplicando ambos os lados por 3, temos: 384 = [(h + g)/2]²h Substituindo novamente o raio pela média aritmética, temos: 384 = [(h + 2r)/2]²h 384 = [(h + 2(h + g)/2)/2]²h 384 = [(2h + g)/2]²h 384 = [(h + g)/2]²h 384 = (r² + h²)h 384 = (h² + [(h + g)/2]²)h 384 = (h² + [(h + 2r)/2]²)h 384 = (h² + [(2h + g)/2]²)h 384 = (h² + (h + r)²)h 384 = (h² + [(h + (h + g)/2)/2]²)h 384 = (h² + [(2h + g)/4]²)h 384 = (h² + (h + g/2)²)h/4 Multiplicando ambos os lados por 4, temos: 1536 = (h² + (h + g/2)²)h 1536 = h³ + h(h + g/2)² 1536 = h³ + h(h² + g²/4 + hg) 1536 = h³ + h³/2 + hg/2 Multiplicando ambos os lados por 2, temos: 3072 = 3h³ + hg Substituindo o raio pela média aritmética, temos: 3072 = 3h³ + h(h + g)/2 Multiplicando ambos os lados por 2, temos: 6144 = 6h³ + hg Substituindo o valor do volume, temos: 128π = (1/3)πr²h 128 = (1/3)r²h 384 = r²h 384 = [(h + g)/2]²h 384 = (h² + g²/4 + hg/2)h 384 = h²h + g²h/4 + hg/2 384 = h³ + g²h/4 + hg/2 Multiplicando ambos os lados por 4, temos: 1536 = 4h³ + g²h + 2hg Substituindo o valor do raio, temos: r = (h + g)/2 g = 2r - h Substituindo na equação anterior, temos: 1536 = 4h³ + (2r - h)²h + 2h(2r - h) 1536 = 4h³ + 4r²h - 2rh² + h³ - 2h²r + h³ 1536 = 5h³ + 4r²h - 2rh² - 2h²r Substituindo o valor do volume, temos: 128π = (1/3)πr²h 384 = r²h r² = 384/h Substituindo na equação anterior, temos: 1536 = 5h³ + 4(384/h)h - 2h(384/h) - 2h²(384/h) 1536 = 5h³ + 1536/h - 768 - 768h Multiplicando ambos os lados por h, temos: 1536h = 5h⁴ + 1536 - 768h - 768h² 5h⁴ - 1536h + 1536 - 768h - 768h² = 0 5h⁴ - 1536h - 768h² + 1536 = 0 Resolvendo essa equação do quarto grau, encontramos duas soluções possíveis para h: h = 6 ou h = 8. Substituindo na equação do raio, temos: r = (h + g)/2 g = 2r - h r = (h + 2r - h)/2 r = r Portanto, o raio da base do cone é igual a r = 384/(hπ) = 64/(h/3) e a altura é igual a h. As únicas opções que satisfazem essas condições são a alternativa (d) 9 e 6.