Exemplo 12. Determine um polinômio cujas raízes são o dobro das raízes de P (x ) = x 4− 3x 2+ x − 9. Solução. De uma maneira geral um polinômio P (...
Exemplo 12. Determine um polinômio cujas raízes
são o dobro das raízes de P (x ) = x 4− 3x 2+ x − 9.
Solução. De uma maneira geral um polinômio
P (x ) = an x n + an−1 x n−1 + . . .+ ax + a0, com raízes
k vezes as raízes de P (x ) é P
� x
k
�
, ou seja, se as
raízes de P (x ) são r1, r2, . . . , rn , então para x =
k x1, k x2, . . . , k xn , temos que P
� x
k
�
= P (ri ) = 0.
Dessa forma o polinômio desejado será
P
� x
k
�
=
an x n
k n
+
an−1 x n−1
k n−1
+ . . .+
a1
k
+a0.
Multiplicando por k n , obtemos
g (x ) = k n P
� x
k
�
=
an x n +k an−1x n−1 + . . .+n n−1a1 x +k n ,a0
um polinômio cujs raízes são k ri . Portanto, a re-
sposta do nosso problema será
g (x ) = x 4− (22)(3)x 2+ (23)x − (24)(9) =
x 4− 12x 2 + 8x − 144.
são o dobro das raízes de P (x ) = x 4− 3x 2+ x − 9.
Solução. De uma maneira geral um polinômio
P (x ) = an x n + an−1 x n−1 + . . .+ ax + a0, com raízes
k vezes as raízes de P (x ) é P
� x
k
�
, ou seja, se as
raízes de P (x ) são r1, r2, . . . , rn , então para x =
k x1, k x2, . . . , k xn , temos que P
� x
k
�
= P (ri ) = 0.
Dessa forma o polinômio desejado será
P
� x
k
�
=
an x n
k n
+
an−1 x n−1
k n−1
+ . . .+
a1
k
+a0.
Multiplicando por k n , obtemos
g (x ) = k n P
� x
k
�
=
an x n +k an−1x n−1 + . . .+n n−1a1 x +k n ,a0
um polinômio cujs raízes são k ri . Portanto, a re-
sposta do nosso problema será
g (x ) = x 4− (22)(3)x 2+ (23)x − (24)(9) =
x 4− 12x 2 + 8x − 144.
💡 1 Resposta
Ed 
O exemplo 12 apresenta um método para encontrar um polinômio cujas raízes são o dobro das raízes de um polinômio P(x). O polinômio desejado é obtido multiplicando P(x) por k^n, onde k é o fator de multiplicação e n é o grau do polinômio. O polinômio resultante é g(x) = k^n * P(x/k), que tem raízes iguais a k vezes as raízes de P(x). No exemplo, o polinômio P(x) é x^4 - 3x^2 + x - 9 e o fator de multiplicação é 2. Portanto, o polinômio desejado é g(x) = 2^4 * P(x/2) = 16(x^4 - 3x^2/4 + x/2 - 9/16), que pode ser simplificado para g(x) = 16x^4 - 12x^2 + 8x - 9.
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