21. (Ime 2011) A base de um prisma reto 1 1 1ABCA B C é um triângulo com o lado AB igual ao lado AC. O valor do segmento CD vale x, onde D é o pont...

Para determinar a área lateral do prisma em função de x, α e β, podemos utilizar a fórmula: Área lateral = perímetro da base x altura lateral O perímetro da base é dado por: Perímetro da base = AB + AC + BC = 2AB + BC Já a altura lateral é dada por: Altura lateral = CD = x Para encontrar a área lateral, precisamos determinar o valor de BC em função de x, α e β. Para isso, podemos utilizar a lei dos cossenos no triângulo ABC: BC² = AB² + AC² - 2AB x AC x cos(α) Como AB = AC, temos: BC² = 2AB² - 2AB² x cos(α) BC = AB x √(2 - 2cos(α)) Agora, podemos substituir o valor de BC na fórmula do perímetro da base: Perímetro da base = 2AB + AB x √(2 - 2cos(α)) Perímetro da base = 2AB(1 + √(2 - 2cos(α))) Substituindo na fórmula da área lateral, temos: Área lateral = 2AB(1 + √(2 - 2cos(α))) x x Área lateral = 2xAB(1 + √(2 - 2cos(α))) Como AB é a base do triângulo ABC, podemos utilizar a fórmula da área do triângulo para encontrar o valor de AB em função de x, β e α: Área do triângulo ABC = (AB x AC x sen(α))/2 AB = (2 x Área do triângulo ABC)/AC x sen(α) AB = (2 x Área do triângulo ABC)/(2AB x sen(α)) x sen(α) AB = Área do triângulo ABC/AB x sen(α) AB² = Área do triângulo ABC/sen(α) AB = √(Área do triângulo ABC/sen(α)) Substituindo o valor de AB na fórmula da área lateral, temos: Área lateral = 2x√(Área do triângulo ABC/sen(α))(1 + √(2 - 2cos(α))) Portanto, a área lateral do prisma em função de x, α e β é: Área lateral = 2x√(Área do triângulo ABC/sen(α))(1 + √(2 - 2cos(α)))