32. (IME-1986) Determine a equação e identifique o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos determinados pela interseção da cônica 2 25x ...

Para determinar a equação e o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos determinados pela interseção da cônica com as retas de coeficiente angular igual a 1/2, podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar as interseções da cônica com as retas de coeficiente angular igual a 1/2. Para isso, podemos substituir y = (1/2)x + k na equação da cônica e resolver a equação resultante para x. Isso nos dará as coordenadas x dos pontos de interseção. Em seguida, podemos usar a equação da reta para encontrar as coordenadas y correspondentes. 2. Encontrar os pontos médios dos segmentos determinados pelas interseções encontradas no passo anterior. Isso pode ser feito simplesmente calculando a média das coordenadas x e y de cada par de pontos. 3. Escrever a equação do lugar geométrico dos pontos médios encontrados no passo anterior. Isso pode ser feito substituindo x e y pelas suas expressões em termos de parâmetros (por exemplo, substituindo x por a cos(t) e y por b sin(t) para uma elipse) e simplificando a equação resultante. Os detalhes dos cálculos podem ser um pouco extensos para serem explicados aqui, mas espero que esses passos ajudem a orientar a solução do problema.