(Unicamp 2020) Sabendo que p é um número real, considere a matriz p 2 A 0 p        e sua transposta TA . Se TA A é singular (não ...

Para que TA A seja singular, o determinante de TA A deve ser igual a zero. Podemos escrever TA A como (TA A), onde (TA A) é a inversa generalizada de TA A. Como TA é uma matriz 2x2, temos que TA A é uma matriz simétrica e, portanto, diagonalizável. Além disso, como TA A é singular, temos que pelo menos um dos autovalores de TA A é zero. Como TA A é diagonalizável, seus autovalores são iguais aos autovalores de A TA, que é a matriz obtida ao multiplicar A pela sua transposta e, em seguida, inverter a matriz resultante. Temos que A TA é uma matriz simétrica e, portanto, diagonalizável. Além disso, seus autovalores são iguais aos quadrados dos autovalores de A. Portanto, pelo menos um dos autovalores de A é zero. Como A é uma matriz 2x2, temos que seu determinante é igual ao produto de seus autovalores. Portanto, o determinante de A é zero se e somente se um de seus autovalores é zero. O único autovalor de A que pode ser zero é p, o que implica que a resposta correta é a alternativa (a) p = 0.