30. Sejam a , b , c , a 6= 0, tais que a e 4a + 3b + 2c têm o mesmo sinal. Mostre que a equação a x 2+ b x + c = 0 não pode ter duas raízes no inte...

Para mostrar que a equação a x² + b x + c = 0 não pode ter duas raízes no intervalo (1, 2), podemos utilizar o método do discriminante. Sabemos que o discriminante é dado por Δ = b² - 4ac. Se a equação tiver duas raízes reais distintas, então Δ > 0. Se tiver apenas uma raiz real, então Δ = 0. E se não tiver raízes reais, então Δ < 0. Suponha que a equação tenha duas raízes no intervalo (1, 2). Isso significa que ambas as raízes são positivas ou ambas são negativas, já que a > 0. Além disso, sabemos que a e 4a + 3b + 2c têm o mesmo sinal. Se a é positivo, então 4a + 3b + 2c também é positivo. Se a é negativo, então 4a + 3b + 2c também é negativo. Vamos considerar o caso em que as duas raízes são positivas. Sejam x1 e x2 as raízes da equação. Como ambas são positivas, temos que x1 > 0 e x2 > 0. Além disso, sabemos que x1 + x2 = -b/a e x1x2 = c/a. Como a > 0, temos que c > 0. Portanto, x1x2 > 0. Agora, vamos calcular o discriminante: Δ = b² - 4ac = (-b)² - 4ac = (x1 + x2)² - 4x1x2a Substituindo os valores de x1 + x2 e x1x2, temos: Δ = (-b)² - 4ac = (x1 + x2)² - 4x1x2a = (-b/a)² - 4(c/a) = (b² - 4ac)/a² Como Δ > 0, temos que b² - 4ac > 0. Mas sabemos que a e 4a + 3b + 2c têm o mesmo sinal. Se a é positivo, então 4a + 3b + 2c também é positivo. Portanto, 4a > -3b - 2c. Substituindo na expressão de b² - 4ac, temos: b² - 4ac = b² - 4a(4a + 3b + 2c)/4 < b² + 3ab + 2ac Agora, vamos usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz: (b² + 3ab + 2ac)(1/3)² < [(b/1)² + (3a/1)² + (2a/1)²](1/3)² Simplificando, temos: b² + 3ab + 2ac < (b² + 9a² + 4a²)/3 b² + 3ab + 2ac < (b² + 13a²)/3 Multiplicando por 3, temos: 3b² + 9ab + 6ac < b² + 13a² 2b² - 9ab + 6ac < 0 Mas isso contradiz a hipótese de que a e 4a + 3b + 2c têm o mesmo sinal. Portanto, a equação a x² + b x + c = 0 não pode ter duas raízes no intervalo (1, 2).