11. Se p e q são primos e x 2−p x +q = 0 tem raízes inteiras distintas, ache p e q .

Para que a equação x² - px + q = 0 tenha raízes inteiras distintas, o discriminante deve ser um quadrado perfeito. Ou seja: p² - 4q = k², onde k é um número inteiro. Como p e q são primos, p é ímpar e q é par (exceto se q = 2, caso em que p = 3). Além disso, como as raízes são distintas, temos: p > 2√q + 1 Substituindo q por (p² - k²)/4, temos: p > 2√((p² - k²)/4) + 1 p > √(p² - k²) + 1 p² - k² > (p - 1)² 2pk - k² > 1 k(2p - k) > 1 Como k e 2p - k são inteiros, temos duas possibilidades: k = 1 e 2p - k > 1, o que implica em k = 1 e p > 1, ou seja, p = 2 ou p é primo ímpar maior que 3. k > 1 e 2p - k > k, o que implica em k > 1 e p > (k + 1)/2. Substituindo k = 1 na equação p² - 4q = k², temos: p² - 4q = 1 p² - 4(q + 1) = -3 Como p é ímpar, p² é congruente a 1 (mod 8). Mas -3 não é um resíduo quadrático módulo 8, o que implica em não haver solução para esse caso. Portanto, a única possibilidade é k > 1 e p > (k + 1)/2. Como p e q são primos, q é par e p é ímpar. Além disso, q = (p² - k²)/4. Substituindo q por essa expressão na equação p² - 4q = k², temos: p² - (p² - k²)/k = k² k³ - 2k²p + p² = 0 k(k - 2p) = p² Como k > 1 e p é primo, temos duas possibilidades: k = p e 2p - p = p, o que implica em p = q = 2, o que não é possível, pois as raízes devem ser distintas. k = p² e 2p² - p² = p, o que implica em p = 3 e q = 2. Portanto, as únicas possibilidades para p e q são p = 3 e q = 2.