32. (IME 2005) Considere os pontos P e Q sobre faces adjacentes de um cubo. Uma formiga percorre, sobre a superfície do cubo, a menor distância ent...

a) Para demonstrar que MN é perpendicular a AC, basta mostrar que o vetor MN é perpendicular ao vetor AC. Como o vetor AC é perpendicular ao vetor BC, podemos escrever AC como o produto vetorial de BC e outro vetor perpendicular a BC, digamos, AD. Assim, temos AC = BC x AD. Como MN é perpendicular a BC, temos que o vetor MN é paralelo a AD. Portanto, o vetor MN é perpendicular ao vetor AC. b) A seção do cubo determinada pelo plano que contém P, Q e M é um trapézio isósceles. Para calcular a área desse trapézio, precisamos calcular a altura h e a média das bases B e b. A altura h é a distância entre os pontos P e Q, que é igual a sqrt(2a^2). A média das bases é a média entre BM e BC, que é (a+b)/2. Portanto, a área do trapézio é A = (B+b)h/2 = [(a+b)/2 + b]sqrt(2a^2)/2 = [(a+3b)sqrt(2)a]/4.