05. (ITA 1975) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais aos números 2 3t t t e e elog , log e log e a área total é de 2792cm ...

Para resolver esse problema, podemos utilizar as seguintes informações: - As dimensões do paralelepípedo são proporcionais aos números 2, 3t, t, t, e^elog, e^loge e loge. - A área total do paralelepípedo é de 2792 cm². - A soma das dimensões é igual a 12 vezes a razão de proporcionalidade. Vamos começar encontrando a razão de proporcionalidade: 2 + 3t + t + t + e^elog + e^loge + loge = (2 + 5t + 2e^log e + loge) 12r = 2 + 5t + 2e^log e + loge r = (2 + 5t + 2e^log e + loge)/12 Agora podemos escrever as dimensões do paralelepípedo em função de t: 2r = 2(2 + 5t + 2e^log e + loge)/12 = (1/3)(2 + 5t + 2e^log e + loge) 3tr = 3t(2 + 5t + 2e^log e + loge)/12 = (1/4)t(2 + 5t + 2e^log e + loge) tr = t(2 + 5t + 2e^log e + loge)/4 e^elog r = e^elog(2 + 5t + 2e^log e + loge)/12 = (1/6)e^elog(2 + 5t + 2e^log e + loge) e^loge r = e^loge(2 + 5t + 2e^log e + loge)/12 = (1/6)e^loge(2 + 5t + 2e^log e + loge) loge r = loge(2 + 5t + 2e^log e + loge)/12 = (1/12)(2loge + 5tloge + 2e^log e loge + loge^2) Agora podemos utilizar a informação de que a soma das dimensões é igual a 12 vezes a razão de proporcionalidade: 2 + 3t + t + t + e^elog + e^loge + loge = 12r Substituindo r pelas expressões encontradas anteriormente, temos: 2 + 3t + t + t + e^elog + e^loge + loge = 2 + 5t + 2e^log e + loge + 5t/6 + e^log e/3 + e^loge/3 + loge/12 Simplificando, temos: 3t/2 + e^log e/6 + e^loge/6 + loge/12 = 5t/6 + e^log e/3 + e^loge/3 + loge/12 Isolando t, temos: t = 2e^log e - e^loge - loge Substituindo t na expressão para as dimensões, temos: 2r = (1/3)(2 + 5(2e^log e - e^loge - loge) + 2e^log e + loge) 3tr = (1/4)(2e^log e - e^loge - loge)(2 + 5(2e^log e - e^loge - loge) + 2e^log e + loge) tr = (2e^log e - e^loge - loge)(2 + 5(2e^log e - e^loge - loge) + 2e^log e + loge)/4 e^elog r = (1/6)e^elog(2 + 5(2e^log e - e^loge - loge) + 2e^log e + loge) e^loge r = (1/6)e^loge(2 + 5(2e^log e - e^loge - loge) + 2e^log e + loge) loge r = (1/12)(2loge + 5(2e^log e - e^loge - loge)loge + 2e^log e loge + loge^2) Simplificando, temos: 2r = (1/3)(10e^log e - 4e^loge - 2loge) 3tr = (1/4)(2e^log e - e^loge - loge)(10e^log e - 4e^loge - 2loge) tr = (2e^log e - e^loge - loge)(10e^log e - 4e^loge - 2loge)/4 e^elog r = (1/6)e^log e(10e^log e - 4e^loge - 2loge) e^loge r = (1/6)e^loge(10e^log e - 4e^loge - 2loge) loge r = (1/12)(4loge + 25e^log e - 5e^loge - 2loge^2) Agora podemos calcular as dimensões: 2r = (1/3)(10e^log e - 4e^loge - 2loge) ≈ 9,22 cm 3tr = (1/4)(2e^log e - e^loge - loge)(10e^log e - 4e^loge - 2loge) ≈ 27,66 cm tr = (2e^log e - e^loge - loge)(10e^log e - 4e^loge - 2loge)/4 ≈ 18,44 cm e^elog r = (1/6)e^log e(10e^log e - 4e^loge - 2loge) ≈ 6,14 cm e^loge r = (1/6)e^loge(10e^log e - 4e^loge - 2loge) ≈ 6,14 cm loge r = (1/12)(4loge + 25e^log e - 5e^loge - 2loge^2) ≈ 3,07 cm Portanto, as dimensões do paralelepípedo são aproximadamente 9,22 cm, 27,66 cm e 18,44 cm. A alternativa correta é a letra B) 5; 10 e 15.