No plano cartesiano, os pontos (0, 3) e (-1, 0) pertencem à circunferência C. Uma outra circunferência, de centro em (-1/2,4) é tangente a C no pon...

Para encontrar o raio da circunferência C, podemos utilizar a equação geral da circunferência: (x - a)² + (y - b)² = r² Onde (a, b) é o centro da circunferência e r é o seu raio. Sabemos que os pontos (0, 3) e (-1, 0) pertencem à circunferência C, então podemos substituí-los na equação geral da circunferência: (0 - a)² + (3 - b)² = r² (-1 - a)² + (0 - b)² = r² Também sabemos que a circunferência de centro em (-1/2, 4) é tangente a C no ponto (0, 3), o que significa que a distância entre os centros das circunferências é igual à soma dos raios: √[(a + 1/2)² + (b - 4)²] = r + √[(a - 1/2)² + (b - 3)²] Podemos isolar o valor de r na primeira equação e substituir na segunda equação: r = √[(0 - a)² + (3 - b)²] r + √[(a + 1/2)² + (b - 4)²] = √[(a - 1/2)² + (b - 3)²] Elevando ambos os lados ao quadrado, temos: r² + 2r√[(a + 1/2)² + (b - 4)²] + (a + 1/2)² + (b - 4)² = (a - 1/2)² + (b - 3)² Substituindo os valores de a e b da primeira equação, temos: r² + 2r√[(a + 1/2)² + (b - 4)²] + 5/4 = (a - 1/2)² + (b - 3)² Substituindo os valores de a e b da segunda equação, temos: r² + 2r√[(a + 1/2)² + (b - 4)²] + 25/4 = (a - 1/2)² + (b - 3)² Subtraindo as duas equações, temos: 20/4 = 4r√[(a + 1/2)² + (b - 4)²] 5 = r√[(a + 1/2)² + (b - 4)²] Substituindo os valores de a e b da primeira equação, temos: 5 = r√[(a + 1/2)² + (b - 4)²] 5 = r√[(0 + 1/2)² + (3 - 4)²] 5 = r√[1/4 + 1] 5 = r√5/2 10/√5 = r Portanto, o raio da circunferência C é igual a 10/√5, que pode ser simplificado como 2√5. A alternativa correta é a letra c).