12. (Fuvest 2011) No plano cartesiano, os pontos (0, 3) e (-1, 0) pertencem à circunferência C. Uma outra circunferência, de centro em (-1/2,4) é t...

Para resolver essa questão, podemos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos e a equação da circunferência. Sabemos que os pontos (0,3) e (-1,0) pertencem à circunferência C, então podemos escrever: (0 - a)² + (3 - b)² = r² (-1 - a)² + (0 - b)² = r² onde a e b são as coordenadas do centro da circunferência C e r é o seu raio. Também sabemos que a circunferência de centro (-1/2,4) é tangente a C no ponto (0,3), o que significa que a distância entre os centros das duas circunferências é igual à soma dos raios: √[(a + 1/2)² + (b - 4)²] = r + √[(a - 0)² + (b - 3)²] Podemos isolar r na primeira equação e substituir na segunda equação: r² = (0 - a)² + (3 - b)² r = √[(0 - a)² + (3 - b)²] √[(a + 1/2)² + (b - 4)²] = √[(0 - a)² + (3 - b)²] + √[(a - 0)² + (b - 3)²] Simplificando a equação acima, obtemos: (a + 1/2)² + (b - 4)² = 2[(0 - a)² + (3 - b)²] Expandindo os quadrados e simplificando, chegamos a: 5a² - 14a + 5b² - 38b + 80 = 0 Podemos completar o quadrado para obter a equação na forma padrão: 5(a - 14/5)² + 5(b - 19/5)² = 81 Comparando com a equação da circunferência, temos: (a - 14/5)² + (b - 19/5)² = 81/5 Portanto, o raio da circunferência C é √(81/5) = √(81)/√(5) = 9/√5 = 9√5/5. Resposta: letra c) 5√5/2.