9. (Fuvest 2016) No plano cartesiano, 0xy, a circunferência C tem centro no ponto P (2,1),= e a reta t é tangente a C no ponto Q ( 1, 5).= − ...

a) O raio da circunferência C é igual à distância entre o centro P e o ponto de tangência Q. Utilizando a fórmula da distância entre dois pontos, temos: r = √[(1 - 2)² + (5 - 1)²] = √17 Portanto, o raio da circunferência C é √17. b) A reta t é perpendicular ao raio que passa pelo ponto de tangência Q. Como o ponto Q é (1,5) e o centro da circunferência é P(2,1), o vetor diretor da reta t é dado por: v = QP = (1-2, 5-1) = (-1, 4) Assim, a equação da reta t é dada por: y - 5 = (4/-1)(x - 1) y - 5 = -4x + 4 4x + y = 9 Portanto, a equação da reta t é 4x + y = 9. c) O ponto R é a interseção da reta t com o eixo x, ou seja, tem coordenada y igual a zero. Substituindo y por zero na equação da reta t, temos: 4x + 0 = 9 x = 9/4 Assim, o ponto R é (9/4, 0). A área do triângulo PQR é dada por: A = (1/2) * PQ * QR Como PQ é o raio da circunferência C, temos PQ = √17. Para calcular QR, basta notar que o triângulo PQR é retângulo em R e utilizar o teorema de Pitágoras: QR² = PR² - PQ² QR² = (9/4 - 2)² + (0 - 1)² - 17 QR² = 9/16 + 9 - 17 QR² = 98/16 QR = √98/4 = √98/2 Assim, a área do triângulo PQR é: A = (1/2) * √17 * √98/2 A = (1/4) * √833 Portanto, a área do triângulo PQR é (1/4) * √833.