Na figura, a circunferência λ de equação 2 2x y 6x 2y 6 0,     tem centro no ponto C. Dado o ponto A (5, 3), pertencente à reta t, que é tang...

Para resolver esse problema, precisamos encontrar o ponto T, que é o ponto de tangência entre a reta t e a circunferência λ. Em seguida, podemos calcular a distância entre T e C, que é o raio da circunferência. Com o raio, podemos calcular a área da região hachurada. Para encontrar o ponto T, podemos usar o fato de que a reta t é perpendicular ao raio que passa pelo ponto de tangência. O vetor diretor da reta t é dado por (-2, 1), que é perpendicular ao vetor diretor do raio, que é (5 - c, 3 - d), onde (c, d) é o centro da circunferência. Portanto, temos: (-2, 1) . (5 - c, 3 - d) = 0 Simplificando, obtemos: 2c - d = 7 Além disso, o ponto T pertence à reta t e à circunferência λ, portanto, suas coordenadas satisfazem as equações da reta e da circunferência. Substituindo y = -2x + 13 (equação da reta t) na equação da circunferência, obtemos: 2x^2 - 12x + 18 = 0 Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos: x = 1 ou x = 3 Substituindo x = 1 na equação da reta t, obtemos: y = -2 + 13 = 11 Portanto, o ponto T tem coordenadas (1, 11). Calculando a distância entre T e C, obtemos: r = √[(1 - c)^2 + (11 - d)^2] Substituindo as coordenadas do centro da circunferência, obtemos: r = √[(1 - 3)^2 + (11 - 3)^2] = √80 Finalmente, podemos calcular a área da região hachurada: Área = πr^2 - (5 - 3)r = π80 - 2√80 A resposta correta é a letra A) 2 . 2 π .