9. (Unesp 2013) Uma partícula em movimento descreve sua trajetória sobre semicircunferências traçadas a partir de um ponto 0P , localizado em uma...

Para encontrar o comprimento da trajetória descrita pela partícula, é necessário somar o comprimento de cada semicircunferência. Como o raio da primeira semicircunferência é R, o comprimento é πR. Para a segunda semicircunferência, o raio é 2R, então o comprimento é 2πR. Para a terceira semicircunferência, o raio é 3R, então o comprimento é 3πR. E assim por diante, até a n-ésima semicircunferência, cujo raio é nR e comprimento é nπR. Portanto, a soma dos comprimentos das semicircunferências é: πR + 2πR + 3πR + ... + nπR Podemos fatorar πR e obter: πR(1 + 2 + 3 + ... + n) A soma dos n primeiros números naturais é dada por: 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 Substituindo na expressão anterior, temos: πR(n(n+1)/2) Simplificando, obtemos: πR(n² + n)/2 Quando n tende ao infinito, n² domina a expressão, então podemos desprezar o n e obter: πRn²/2 Portanto, a alternativa correta é a letra C) n² R.π.