9. (Unesp 2013) Uma partícula em movimento descreve sua trajetória sobre semicircunferências traçadas a partir de um ponto 0P , localizado em uma...

Para calcular o comprimento da trajetória descrita pela partícula, é necessário somar o comprimento de cada semicircunferência percorrida. Como o raio da primeira semicircunferência é R, o comprimento é πR. Na segunda semicircunferência, o raio é 2R, então o comprimento é 2πR. Na terceira semicircunferência, o raio é 3R, então o comprimento é 3πR. E assim por diante, até a n-ésima semicircunferência, cujo raio é nR e comprimento é nπR. Portanto, a soma dos comprimentos das semicircunferências é: πR + 2πR + 3πR + ... + nπR Para calcular essa soma, podemos usar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética: Sn = (a1 + an) * n / 2 Onde a1 é o primeiro termo, an é o último termo e n é o número de termos. Nesse caso, a1 = πR, an = nπR e n é infinito. Portanto, a soma é: Sn = (πR + nπR) * n / 2 Sn = (πRn + n2πR) / 2 Quando n tende ao infinito, o termo n2πR domina a soma, e podemos desprezar o termo πRn. Portanto, o comprimento da trajetória é aproximadamente igual a: Sn ≈ n2πR / 2 Resposta: alternativa C) n2Rπ.