11. URCA/2011.1 ­  Os   lados   de   um triângulo   retângulo   estão   em   progressão geométrica.   Assinale   a   alternativa CORRETA. a) o   ...

A alternativa correta é a letra D) a tangente do maior ângulo agudo é o dobro do cosseno do menor ângulo agudo. Para resolver esse problema, podemos usar a relação fundamental da trigonometria em um triângulo retângulo, que é dada por: sen²θ + cos²θ = 1 Além disso, sabemos que os lados do triângulo estão em progressão geométrica, o que significa que podemos escrevê-los como a, ar e ar², onde a é o menor lado e r é a razão da progressão. Usando essas informações, podemos determinar as relações trigonométricas dos ângulos agudos do triângulo: sen θ = a / ar² = 1 / r² cos θ = ar / ar² = 1 / r tan θ = sen θ / cos θ = r Como os lados estão em progressão geométrica, temos que r > 1. Portanto, o maior ângulo agudo é aquele oposto ao maior lado, que é ar². Podemos calcular a tangente desse ângulo usando a relação acima: tan θ' = r² Por outro lado, o menor ângulo agudo é aquele oposto ao menor lado, que é a. Podemos calcular o cosseno desse ângulo usando a relação fundamental da trigonometria: cos θ'' = a / ar = 1 / r Finalmente, podemos verificar que a alternativa D) é verdadeira: tan θ' = 2 cos θ''