35. (ITA-1995) Seja z um número no campo complexo satisfazendo Re(z) > 0 e ainda  z i z i    22 6 . Se n é o menor natural para o qual zn é ...

Para resolver essa questão, podemos começar reescrevendo o número complexo z na forma trigonométrica. Temos: z = x + yi |z| = √(x² + y²) θ = arctan(y/x) Substituindo na equação dada, temos: z + iz^(1/2) + iz^(1/4) = 2√3 (x + yi) + i(x + yi)^(1/2) + i(x + yi)^(1/4) = 2√3 Podemos agora elevar ambos os lados da equação à quarta potência, para obter: (x + yi)^4 + i^4(x + yi)^2 + i^4(x + yi) + 2i^3(x + yi)^{7/4} + 2i(x + yi)^{5/4} + 2i^2(x + yi)^{3/4} = 144 Simplificando os termos com i^4, temos: (x + yi)^4 - (x + yi)^2 + 2i(x + yi)^{5/4} - 2(x + yi)^{3/4} = 144 Agora, podemos separar a parte real e imaginária da equação. Para a parte real, temos: (x^4 - x^2 + 2x^{5/4} - 2x^{3/4}) - 6y^2 = 144 E para a parte imaginária, temos: 4x^3y - 4xy - 6y^{3/2} = 0 Como queremos que zn seja um imaginário puro, temos que y = 0. Substituindo na segunda equação, temos: 4x^3y - 4xy - 6y^{3/2} = 0 4x^3(0) - 4x(0) - 6(0)^{3/2} = 0 0 = 0 Isso significa que qualquer valor de x com Re(z) > 0 satisfaz a condição. Portanto, o menor valor de n para o qual zn é um imaginário puro é n = 1, e a alternativa correta é a letra a).