Sejam z1 e z2 complexos de raios vetores OP1 e OP2, respectivamente. Mostre que OP1 e OP2 são perpendiculares se e somente se 21zz é um imaginário ...

Para mostrar que os raios vetores OP1 e OP2 são perpendiculares se e somente se 21zz é um imaginário puro, podemos utilizar a seguinte propriedade: Dois vetores são perpendiculares se e somente se o produto escalar entre eles for igual a zero. Assim, temos que: OP1 é representado pelo vetor z1 OP2 é representado pelo vetor z2 Para que OP1 e OP2 sejam perpendiculares, o produto escalar entre eles deve ser igual a zero, ou seja: z1 . z2 = 0 Podemos escrever z1 e z2 em termos de suas partes reais e imaginárias: z1 = x1 + yi1 z2 = x2 + yi2 Então, temos: z1 . z2 = (x1 + yi1) . (x2 + yi2) z1 . z2 = x1x2 + x1yi2 + x2yi1 + yi1yi2 Se 21zz é um imaginário puro, então podemos escrevê-lo como: 21zz = 2i(x1y2 - x2y1) Igualando as expressões para z1 . z2 e 21zz, temos: x1x2 + x1yi2 + x2yi1 + yi1yi2 = 2i(x1y2 - x2y1) Isolando a parte imaginária, temos: x1yi2 + x2yi1 = 2i(x1y2 - x2y1) Dividindo ambos os lados por 2i, temos: x1y2 - x2y1 = -i(x1yi2 + x2yi1) Como a parte real e a parte imaginária são iguais a zero, temos: x1y2 - x2y1 = 0 x1y2 = x2y1 Isso significa que os raios vetores OP1 e OP2 são perpendiculares se e somente se 21zz é um imaginário puro.