21. (IME – 84/85) Sejam z1 e z2 complexos de raios vetores OP1 e OP2, respectivamente. Mostre que OP1 e OP2 são perpendiculares se e somente se 21...

Para mostrar que os vetores OP1 e OP2 são perpendiculares se e somente se 21zz é um imaginário puro, podemos utilizar a definição de produto escalar entre dois vetores complexos. Sejam z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2, então temos que: OP1 = z1 = x1 + iy1 OP2 = z2 = x2 + iy2 O produto escalar entre OP1 e OP2 é dado por: OP1 . OP2 = Re(OP1 * conj(OP2)) Onde conj(OP2) é o conjugado de OP2, ou seja, conj(OP2) = x2 - iy2. Substituindo OP1 e OP2, temos: OP1 . OP2 = Re((x1 + iy1)(x2 - iy2)) OP1 . OP2 = Re(x1x2 + y1y2 + i(x1y2 - x2y1)) OP1 . OP2 = x1x2 + y1y2 Agora, vamos analisar a condição para que OP1 e OP2 sejam perpendiculares. Isso ocorre quando o produto escalar entre eles é igual a zero, ou seja: OP1 . OP2 = 0 x1x2 + y1y2 = 0 y1y2 = -x1x2 Multiplicando ambos os lados por i, temos: i(y1y2) = i(-x1x2) y1x2 - x1y2 = 0 y1x2 = x1y2 Agora, vamos analisar a condição para que 21zz seja um imaginário puro. Isso ocorre quando a parte real de 21zz é igual a zero, ou seja: Re(21zz) = 0 Re(21(xx1 + yy1i)(xx2 + yy2i)) = 0 Re(21(xx1xx2 - yy1yy2 + (xx1yy2 + xx2yy1)i))) = 0 21(xx1xx2 - yy1yy2) = 0 21xx1xx2 - 21yy1yy2 = 0 yy1yy2 = xx1xx2 Comparando as duas últimas equações, temos que: y1x2 = x1y2 = yy1yy2 = xx1xx2 Portanto, OP1 e OP2 são perpendiculares se e somente se 21zz é um imaginário puro.