(IME – 03) Seja z um número complexo de módulo unitário que satisfaz à condição z2n  –1, onde n é um número inteiro positivo. Demonstre que n2n z1...

Para demonstrar que n2n z1z  é um número real, podemos utilizar a propriedade de conjugado de um número complexo. Seja z = cosθ + i senθ, onde θ é o argumento de z. Como z tem módulo unitário, temos que |z| = 1, ou seja, cos²θ + sen²θ = 1. Então, temos que z² = (cosθ + i senθ)² = cos²θ - sen²θ + 2i cosθ senθ = cos2θ + i sen2θ. Como z²n ≠ -1, temos que z²n + 1 ≠ 0. Então, podemos escrever: z²n + 1 = (z²n + 1)(z²n - 1)/(z²n - 1) = (z⁴n - 1)/(z²n - 1) = [(z²n)² - 1]/(z²n - 1) = [(cos2nθ + i sen2nθ) - 1]/(z²n - 1) Simplificando, temos: z²n + 1 = [cos2nθ - 1 + i sen2nθ]/[cosθ + i senθ]²n [cosθ - i senθ]²n z²n + 1 = [(cosnθ - i sen2nθ)(cosnθ + i sen2nθ)]/[cos²nθ + sen²nθ]ⁿ [cos²θ - sen²θ]ⁿ z²n + 1 = [(cos²nθ + sen²nθ)]/[cos²θ - sen²θ]ⁿ z²n + 1 = [1]/[cos²θ - sen²θ]ⁿ z²n + 1 = [1]/[cosn2θ]ⁿ z²n + 1 = [1]/[cosnθ]ⁿ Agora, podemos calcular z1z⁺: z1z⁺ = (cosθ + i senθ)(cosθ - i senθ) = cos²θ + sen²θ = 1 Então, temos que: n²n z1z⁺ = n²n Como n²n é um número real, temos que n²n z1z⁺ é um número real, como queríamos demonstrar.