32. (IME – 03) Seja z um número complexo de módulo unitário que satisfaz à condição z2n  –1, onde n é um número inteiro positivo. Demonstre que n2...

Para demonstrar que n²n z1z + é um número real, podemos utilizar a propriedade de que o conjugado de um número complexo é dado pela mudança do sinal da parte imaginária. Assim, temos: z1z + z1z- = 2Re(z1z+) Onde Re(z1z+) é a parte real de z1z+. Podemos reescrever z1z+ como: z1z+ = (z2n)1/2 (z2n)-1/2 + z Substituindo na equação anterior, temos: z1z + z1z- = (z2n + z2n*) + 2Re(z) Como z é um número complexo de módulo unitário, temos que z* = 1/z. Substituindo na equação anterior, temos: z1z + z1z- = (z2n + 1/z2n) + 2Re(z) Multiplicando ambos os lados por z2n, temos: z2n z1z + z2n/z1z + 2z2n Re(z) = z2n(z1z + 1/z1z) + 2z2n Re(z) Como z2n ≠ -1, temos que z2n + 1/z2n ≠ 0. Assim, podemos dividir ambos os lados por z2n + 1/z2n, obtendo: z1z + = (z2n(z1z + 1/z1z) + 2z2n Re(z))/(z2n + 1/z2n) Para demonstrar que n²n z1z + é um número real, precisamos mostrar que a parte imaginária de z1z+ é zero. Podemos escrever z1z+ como: z1z+ = (z2n)1/2 (z2n)-1/2 + z Multiplicando ambos os lados por z2n, temos: z2n z1z+ = z2n (z2n)1/2 (z2n)-1/2 + z2n z Substituindo z2n = e^(iπ/n), temos: z2n z1z+ = e^(iπ/2) + z2n z Como z é um número complexo de módulo unitário, temos que z = e^(iθ), onde θ é o argumento de z. Substituindo na equação anterior, temos: z2n z1z+ = e^(iπ/2) + e^(iπ/n + iθ) Podemos escrever e^(iπ/n + iθ) como: e^(iπ/n + iθ) = cos(π/n + θ) + i sin(π/n + θ) Assim, temos: z2n z1z+ = e^(iπ/2) + cos(π/n + θ) + i sin(π/n + θ) A parte imaginária de z1z+ é dada por sin(π/n + θ). Para mostrar que é zero, precisamos mostrar que π/n + θ é um múltiplo inteiro de π. Podemos escrever θ como: θ = 2kπ/n Onde k é um número inteiro. Substituindo na equação anterior, temos: π/n + θ = π/n + 2kπ/n = (2k + 1)π/n Assim, π/n + θ é um múltiplo inteiro de π, e a parte imaginária de z1z+ é zero. Portanto, n²n z1z + é um número real.