11. (IME – 74/75) São dados dois números complexos z1 e z2. As partes real e imaginária de um complexo são dadas por Re(z) e Im(z). Determine z1 e ...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o sistema de equações formado pelas informações dadas. Temos: 1) [Re(z1)]^2 + [Im(z1)]^2 = 5 2) [Re(z2)]^2 + [Im(z2)]^2 = 15 3) [Re(z1)]^2 - [Re(z2)]^2 = 4[Re(z1)] Podemos isolar [Im(z1)]^2 na primeira equação e substituir na terceira equação, ficando: [Re(z1)]^2 - [Re(z2)]^2 = 4[Re(z1)] + 5 - 1 - 4[Re(z1)] [Re(z1)]^2 - [Re(z2)]^2 = 4[Re(z1)] + 4 Podemos fatorar a equação acima, ficando: ([Re(z1)] - 2)^2 - [Re(z2)]^2 = 0 Podemos isolar [Re(z2)]^2 na segunda equação e substituir na equação acima, ficando: ([Re(z1)] - 2)^2 - ([Re(z1)]^2 - 15) = 0 [Re(z1)]^2 - 4[Re(z1)] + 4 - [Re(z1)]^2 + 15 = 0 [Re(z1)] = 11/4 Substituindo [Re(z1)] na primeira equação, temos: [Im(z1)]^2 = 1/4 [Im(z1)] = 1/2 ou [Im(z1)] = -1/2 Portanto, as soluções para z1 são: z1 = 11/4 + i/2 ou z1 = 11/4 - i/2 Para encontrar z2, podemos utilizar a terceira equação, ficando: [Re(z2)]^2 = [Re(z1)]^2 - 4[Re(z1)] + 15 [Re(z2)]^2 = 1/16 [Re(z2)] = 1/4 ou [Re(z2)] = -1/4 Substituindo [Re(z2)] na segunda equação, temos: [Im(z2)]^2 = 59/16 [Im(z2)] = sqrt(59)/4 ou [Im(z2)] = -sqrt(59)/4 Portanto, as soluções para z2 são: z2 = 1/4 + sqrt(59)i/4 ou z2 = 1/4 - sqrt(59)i/4 ou z2 = -1/4 + sqrt(59)i/4 ou z2 = -1/4 - sqrt(59)i/4