35. (IME – 06) Sejam as somas S0 e S1 definidas por 0 3 6 9 3[ / 3] 0 1 4 7 10 3[( 1) / 3] 3... ...               n n n n n n n n S C...

Para calcular os valores de S0 e S1 em função de n, podemos utilizar o desenvolvimento em binômio de Newton de (2 + 1/3)^n. Assim, temos: (2 + 1/3)^n = C0(2^n) + C1(2^(n-1))(1/3) + C2(2^(n-2))(1/3)^2 + ... + Cn(1/3)^n Onde Ci representa o coeficiente binomial de n escolhendo i. Podemos reescrever essa expressão como: (2 + 1/3)^n = S0 + S1 Onde: S0 = C0(2^n) + C2(2^(n-2))(1/3)^2 + C4(2^(n-4))(1/3)^4 + ... + Cn(1/3)^n S1 = C1(2^(n-1))(1/3) + C3(2^(n-3))(1/3)^3 + C5(2^(n-5))(1/3)^5 + ... Para calcular S0 e S1, basta calcular os coeficientes binomiais Ci e substituir na expressão acima. Usando a sugestão dada no enunciado, podemos escrever: (2 + 1/3)^n = (3/3 + 1/3)^n = (4/3)^n = (cis(π/2))^n = cis(nπ/2) Assim, temos: C0 = 1 C1 = n C2 = n(n-1)/2 C3 = n(n-1)(n-2)/6 C4 = n(n-1)(n-2)(n-3)/24 ... Cn = 1 Substituindo na expressão de S0 e S1, temos: S0 = 2^n - [(n(n-1)/2)(1/3)^2 + (n(n-1)(n-2)/6)(1/3)^4 + ... + (n(n-1)...(n-k+1)/k!)(1/3)^(2k)] S1 = (2^(n-1))(n/3) - [(n(n-1)(n-2)/6)(1/3)^3 + (n(n-1)(n-2)(n-3)/24)(1/3)^5 + ... + (n(n-1)...(n-k+2)/k!)(1/3)^(2k+1)] Portanto, os valores de S0 e S1 em função de n são: S0 = 2^n - [(n(n-1)/2)(1/9) + (n(n-1)(n-2)/54)(1/81) + ... + (n(n-1)...(n-k+1)/k!)(1/3)^(2k)] S1 = (2^(n-1))(n/3) - [(n(n-1)(n-2)/18)(1/27) + (n(n-1)(n-2)(n-3)/648)(1/243) + ... + (n(n-1)...(n-k+2)/k!)(1/3)^(2k+1)]