40. (IME – 11) Sejam 1z 10 6i  e 2z 4 6i  , onde i é a unidade imaginária e z um número complexo tal que 1 2 z z arg z z 4        ...

Para resolver essa questão, podemos utilizar as informações fornecidas e algumas propriedades dos números complexos. Primeiro, podemos escrever as equações 1z 10 6i  e 2z 4 6i  na forma retangular, que é a forma a + bi, onde a e b são números reais. Temos: 1z = 10 + 6i 2z = 4 + 6i Podemos dividir a segunda equação pela primeira para encontrar o valor de z: 2z/1z = (4 + 6i)/(10 + 6i) = (4/10) + (6/10)i = 0.4 + 0.6i Portanto, z = (0.4 + 0.6i)/2 = 0.2 + 0.3i. Agora, podemos usar a equação 1/2 z (z - 4) = -4i para encontrar o valor de z - 4: 1/2 z (z - 4) = -4i 0.2 + 0.3i (z - 4) = -4i 0.2z - 0.8 + 0.3iz = -4i 0.2z + 0.3iz = 3.2i z(0.2 + 0.3i) = 3.2i + 0.8 z = (3.2i + 0.8)/(0.2 + 0.3i) Podemos multiplicar o numerador e o denominador por 0.2 - 0.3i para simplificar a expressão: z = [(3.2i + 0.8)(0.2 - 0.3i)]/[(0.2 + 0.3i)(0.2 - 0.3i)] z = (1.12 - 0.16i)/(0.13) z = 8.615 - 1.23i Agora, podemos encontrar o valor de z - (7 + 9i): z - (7 + 9i) = (8.615 - 1.23i) - (7 + 9i) z - (7 + 9i) = 1.615 - 10.23i Finalmente, podemos encontrar o módulo do número complexo z - (7 + 9i): |z - (7 + 9i)| = sqrt((1.615)^2 + (-10.23)^2) |z - (7 + 9i)| = sqrt(105.01) |z - (7 + 9i)| = 10.247 Portanto, o módulo do número complexo z - (7 + 9i) é 10.247.