4. Seja w uma raiz enésima da unidade (w  1). Prove que 2 n 11 w w ... w 0     .

Para provar que 2 n 11 w w ... w 0    , podemos usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica finita: S = a1(1 - r^n) / (1 - r) Onde: - a1 é o primeiro termo da progressão, que é 2; - r é a razão da progressão, que é w; - n é o número de termos da progressão, que é 11. Substituindo esses valores na fórmula, temos: S = 2(1 - w^11) / (1 - w) Multiplicando o numerador e o denominador por (1 + w), temos: S = 2(1 + w + w^2 + ... + w^10) Mas sabemos que w é uma raiz enésima da unidade, o que significa que w^n = 1. Portanto, podemos reescrever a expressão acima como: S = 2(1 + w + w^2 + ... + w^10 + w^11 - 1 - w - w^2 - ... - w^10) Simplificando os termos semelhantes, temos: S = 2(w^11 - 1) / (w - 1) Mas w é uma raiz enésima da unidade, o que significa que w^n = 1. Portanto, podemos reescrever a expressão acima como: S = 0 Assim, provamos que 2 n 11 w w ... w 0    .