5. Seja w uma raiz primitiva da unidade de grau 2n (w  1). a) Prove que wn = – 1 b) Prove que 2 n 1 2 1 w w ... w 1 w       .

a) Para provar que wn = -1, podemos elevar ambos os lados da equação w^(2n) = 1 à potência n. Temos: (w^(2n))^n = 1^n w^(2n^2) = 1 w^(2n^2/2) = w^n = -1 Portanto, wn = -1. b) Podemos reescrever a expressão como: 2n-1∑k=0 wk = 2n-1∑k=0 (w^k + w^(2n-k)) Observe que w^k + w^(2n-k) = 0 se k ≠ n e w^k + w^(2n-k) = 2 se k = n. Portanto, a soma acima é igual a: 2n-1∑k=0 wk = 2n-1(w^n) + 2 = 0 Substituindo wn = -1, temos: 2n-1∑k=0 wk = -2n-1 Dividindo ambos os lados por -2, obtemos: 2n-2∑k=0 wk = 2^(n-1) - 1 Portanto, 2^(n-1) - 1 é a soma desejada.