15.(Espm 2018) As soluções inteiras da equação 2 2x y 7− = representam pontos no plano cartesiano. A área do polígono convexo com vértices nesses ...

Para resolver essa questão, podemos começar encontrando os pontos que satisfazem a equação dada. Podemos reescrevê-la como: 2^(2x) = 7 - y^2 Como 2^(2x) é sempre um número par, então 7 - y^2 também deve ser par. Isso significa que y deve ser ímpar. Podemos testar valores ímpares de y para encontrar os valores correspondentes de x: Para y = 1, temos 2^(2x) = 6, o que não tem solução inteira. Para y = 3, temos 2^(2x) = 4, o que implica em x = 1. Para y = 5, temos 2^(2x) = 2, o que não tem solução inteira. Para y = 7, temos 2^(2x) = 0, o que implica em x = 0. Portanto, os pontos que satisfazem a equação são (1, 3) e (0, 7). Podemos plotá-los no plano cartesiano e traçar o polígono convexo que eles formam: ``` (0, 7) -- (1, 3) | | (0, 0) -- (0, 7) ``` Podemos dividir esse polígono em dois triângulos e calcular a área de cada um separadamente. O primeiro triângulo tem base 1 e altura 4, então sua área é (1 * 4) / 2 = 2. O segundo triângulo tem base 7 e altura 7, então sua área é (7 * 7) / 2 = 24. A área total do polígono é a soma das áreas dos dois triângulos, que é 2 + 24 = 26. Portanto, a alternativa correta é a letra D) 52.