38. (Ita 2011) a) Calcule 2 2cos sen cos 2sen cos sen . 5 5 10 5 5 10             b) Usando o resultado do item anterior, calcule sen...

a) Para calcular a expressão 2cos(2sen(π/5))cos(π/10) - sen(2π/5)cos(π/5), podemos utilizar as identidades trigonométricas para simplificar a expressão. Temos: 2cos(2sen(π/5))cos(π/10) - sen(2π/5)cos(π/5) = 2cos(2sen(π/5))cos(π/10) - 2sen(π/5)cos(π/5)cos(π/5) (usando a identidade sen(2x) = 2sen(x)cos(x)) = 2cos(2sen(π/5))cos(π/10) - 2sen(π/5)cos²(π/5) (usando a identidade cos(2x) = cos²(x) - sen²(x)) = 2cos(2sen(π/5))cos(π/10) - 2sen(π/5)(1 - sen²(π/5)) (usando a identidade cos²(x) + sen²(x) = 1) = 2cos(2sen(π/5))cos(π/10) - 2sen(π/5) + 2sen³(π/5) b) Usando o resultado do item anterior, podemos calcular sen(π/10)cos(π/5) da seguinte forma: sen(π/10)cos(π/5) = (1/2)(2sen(π/10)cos(π/5)) = (1/2)[sen(π/2 - (π/5)) + sen(π/2 + (π/5))] (usando a identidade sen(x - y) = sen(x)cos(y) - cos(x)sen(y)) = (1/2)[cos(π/5) + sen(3π/10)] (usando as identidades sen(π/2 - x) = cos(x) e sen(x + y) = sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y)) Portanto, a resposta é (1/2)[cos(π/5) + sen(3π/10)].