Lista_04_-_Trigonometria_1

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LISTA 4: TRIGONOMETRIA 1 
 
 
 
Prof. Rodrigo 
 
1 
Complementos sobre triângulos retângulos: 
 
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO 
 
Classificação Lista 4 Caderno 1, p. 158 
Básicos 
1,2,10,16,17,18,19,20,23, 
25,27,28,29,34 
65,66,67,71,77,79 
Intermediários 
3,4,5,8,9,11,12,21,22, 
24,26,30,32,33, 
35,36,38,41 
68,70,75,76,89, 
92,101,129 
Avançados 
6,7,13,14,15,31, 
37,39,40,42,43 
113,114,124 
 
 
1. Considere um triângulo retângulo de ângulos agudos  e . 
Demonstre que: 
i)  2 2α α 1sen cos ; 
ii) sen cosα β ; 
iii) tg
tg
1
α
β
 ; 
 
2. Considere um triângulo isósceles ABC, tal que AB AC 1  e o 
ângulo BÂC = 2. Prove que: 
i) Se  ;θ 0 45  , então sen sen cos2θ 2 θ θ ; 
ii) Se  ;θ 0 90  , então 
cos
sen
θ 1 θ
2 2

 ; 
IIi) Se  ;θ 0 45  , então  sen cos sen
2
θ θ 1 2θ   ; 
 
3. Considerando o triângulo isósceles ABC abaixo, com 
AC BC 1  , calcule: 
 
a) sen18° b) cos18° c) cos72° 
d) sen72° e) sen36° f) cos 36° 
 
4. Calcule sen e cos .9 9  
 
5. Mostre que: 
a) cos
tg
2
2
1
θ
1 θ


 b) 
tg
sen
tg
2
2
2
θ
θ
1 θ


 
6. Um triângulo retângulo tem hipotenusa 1 e perímetro 
6 2
2

. 
Determine a medida dos seus ângulos agudos. 
 
7. Construir, com régua e compasso, um triângulo retângulo 
conhecendo a hipotenusa e a soma de seus catetos. 
 
8. Usando argumentos geométricos, determine o valor máximo de 
sen cosθ θ . 
 
9. 
a) Usando o triângulo retângulo abaixo, prove que 
sen
tg
cos
θ θ
2 1 θ


. 
 
 
b) Determine as funções trigonométricas de 15°. 
c) Fazendo tg t
θ
2
 e usando a relação do item a, prove que: 
t t t
sen ; cos ; tg
t t t
2
2 2 2
2 1 2
θ θ θ
1 1 1

  
  
 
 
10. Para 0 θ 90    , faça o que se pede: 
a) Sabendo que sen cos ,θ θ 0 4  , calcule tgθ . 
b) Sabendo que sen tg ,θ θ 0 45  , calcule cosθ . 
 
11. No retângulo ABCD abaixo, o triângulo inscrito DEF é retângulo 
em E. Tomando os ângulos ADE   e EDF   , prove que 
 cos cos cos sen sen      . 
 sen sen cos sen cos     
 
 
 
 
 
 
2 
12. A partir das figuras abaixo, prove que: 
a)  sen a b sena cosb senb cosa     
 
b)  sen a b sena cosb senb cosa     
 
 
13. Calcule seno e cosseno de 6° e indique um processo para obter 
uma tabela de senos de 3 em 3 graus. 
 
14. (IMO) Show that tg '7 30 6 2 3 2     . 
 
15. Mostre que o perímetro de um pentágono regular inscrito em 
uma circunferência unitária é dado por 
5 10 2 5
2
. 
 
 
16. Prove as fórmulas do arco duplo: 
a) sen x senx cos x2 2 
b) cos x cos x sen x 2 22 
c) 
tgx
tg x
tg x

 2
2
2
1
 
 
17. Prove que: 
a) cos x cos x 22 2 1 
b) cos x sen x  22 1 2 
c) 
tgx
sen x
tg x

 2
2
2
1
 
d) 
tg x
cos x
tg x



2
2
1
2
1
 
18. Os arcos a e b do primeiro quadrante são tais que sena 
3
5
 e 
senb 
12
13
. Calcular: 
a)  cos a b 
b)  sen a b 
c)  tg a b 
19. Se sena 
1
3
, calcular sen a2 e cos a2 . 
20. Se tga 
1
2
, calcular tg2a e tg3a. 
 
21. Calcular: 
a) sen cos 15 15 
b) sen cos  3 15 15 
c) 
tg
tg
 
 
1 15
1 15
 
d) cos cos  36 72 
e) sen cos cos    10 20 40 
f) 
sen cos

 
1 3
10 10
 
g) cos cos  36 72 
h) sen ;cos ;tg
  
12 12 12
 
 
22. Demonstre as seguintes identidades: 
a) tgx cot gx cossec x  2 2 ; 
b) tgx cot gx cotg x  2 2 ; 
c) 
sec x
sec x
sec x


2
2
2
2
; 
d) 
senx x
tg
cos x
  
  
 
1
4 2
; 
e) 
tg x
cos x
tg x tgx


22 2
2
; 
f) cos x
tgx tg x

 
1
2
1 2
; 
g) 
sen x cos x x
tg
cos x cos x
 
 
2
1 2 1 2
; 
h) 
cos x
sen x
x x
cot g tg


2 1
2
4
2 2
; 
i)    seny sen y sen y sen y      4 60 60 3 ; 
j)  cos cos sen sen sen sen cos          2 2 2 2
1
2 2
2
 
k) Se    m sen a b cos a b    , então 
msen a msen b m
 
   2
1 1 2
1 2 1 2 1
; 
l) Se cos a cos b m 2 2 , então    cos a b cos a b m    1; 
m) Se sen x senycosy2 , então cos x cos y
 
  
 
22 2
4
. 
 
 
 
 
 
 
 
3 
23. (Fuvest 2015) No triângulo retângulo ABC, ilustrado na figura, 
a hipotenusa AC mede 12cm e o cateto BC mede 6cm. 
 
Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do ângulo MAC 
é igual a 
a) 
2
7
 b) 
3
7
 c) 
2
7
 d) 
2 2
7
 e) 
2 3
7
 
 
24. (Fuvest 2011) Sejam x e y números reais positivos tais que 
x y
2
  . Sabendo-se que   1sen y x 3  , o valor de 
2 2tg y tg x é igual a 
a) 
3
2
 b) 
5
4
 c) 
1
2
 d) 
1
4
 e) 
1
8
 
 
25. (Fuvest 2000) O dobro do seno de um ângulo , 0 <  < 
2

, é 
igual ao triplo do quadrado de sua tangente. Logo, o valor de seu 
cosseno é: 
a) 
2
3
 b)
3
2
 c) 
2
2
 d) 
1
2
 e) 
3
3
 
 
26. (Fuvest 1998) Nos triângulos da figura, AC = 1cm, BC = 7cm, 
AD = BD. O valor de sen x é 
 
a) 
2
2
 b) 
7
50
 c) 
3
5
 d) 
4
5
 e) 
1
50
 
 
27. (Fuvest 1996) Os números reais sen
12
π
, sen a, sen
5
12
π
 
formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então o valor de 
sen a é: 
a) 
1
4
 b) 
3
6
 c) 
2
4
 d) 
6
4
 e) 
3
2
 
 
 
 
 
28. (Fuvest 1994) O valor de (tg10 cotg10 )sen 20    é: 
a) 1 2 b) 1 c) 2 d) 5 2 e) 4 
 
29. (Espcex (Aman) 2018) Considere o triângulo com ângulos 
internos x, 45 e 120 . O valor de 2tg (x) é igual a 
a) 3 2. b) 4 3 7. c) 7 4 3. 
d) 2 3. e) 2 4 3. 
 
30. (Fuvest 2016) No quadrilátero plano ABCD, os ângulos 
ˆABC e ˆADC são retos, AB AD 1,  BC CD 2  e BD 
é uma diagonal.O cosseno do ângulo ˆBCD vale 
a) 
3
5
 b) 
2
5
 c) 
3
5
 d) 
2 3
5
 e) 
4
5
 
 
31. (Ime 2015) Os lados a, b e c de um triângulo estão em PA 
nesta ordem, sendo opostos aos ângulos internos A, B e C, 
respectivamente. Determine o valor da expressão:
A C
cos
2
A C
cos
2


 
a) 2 b) 2 c) 2 2 d) 3 e) 4 
 
32. (Fuvest 2009) Seja x no intervalo 0; 
2
 
 
 
 satisfazendo a 
equação tgx sec x
 
  
 
2 3
25
. Assim calcule o valor de: 
a) sec x. b) sen x
4
 
 
 
 
 
 
33. (Esc. Naval 2016) Seja 
q (cos 5 ) (cos 20 ) (cos 40 ) (cos 85 )        a razão de 
uma progressão geométrica infinita com termo inicial 0
1
a .
4
 
Sendo assim, é correto afirmar que a soma dos termos dessa 
progressão vale: 
a) 
1
15
 b) 
2
15
 c) 
3
15
 d) 
4
15
 e) 
7
15
 
 
34. (Fuvest 2001) 
a) Calcule cos3 em função de sen e de cos. 
b) Calcule sen3 em função de sen e de cos. 
c) Para 0 <  < 
2
π
, resolva a equação: 
sen cos
sen cos
sen cos
 
   
 
2 1 3 31
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
35. (Fuvest 2014) Uma bola branca está posicionada no ponto Q 
de uma mesa de bilhar retangular, e uma bola vermelha, no ponto 
P, conforme a figura abaixo. 
 
 
A reta determinada por P e Q intersecta o lado L da mesa no ponto 
R. Além disso, Q é o ponto médio do segmento PR, e o ângulo 
agudo formado por PR e L mede 60°. A bola branca atinge a 
vermelha, após ser refletida pelo lado L. Sua trajetória, ao partir de 
Q, forma um ângulo agudo θ com o segmento PR e o mesmo 
ângulo agudo α com o lado L antes e depois da reflexão. 
Determine a tangente de α e o seno de .θ 
 
36. (Ime 2014) Em um quadrilátero ABCD, os ângulos ABC e 
CDA são retos. Considere que sen (BDC) e sen (BCA) 
sejam as raízes da equação 2x bx c 0,   onde b, c . 
Qual a verdadeira relação satisfeita por b e c ? 
a) 
2 2b 2c 1  b) 
4 2 2b 2c b c  c) 
2b 2c 1  
d) 
2 2b 2c 1  e) 
2b 2c 1  
 
37. (Ime 2013) Assinale a alternativa que apresenta o mesmo valor 
da expressão    2 24cos 9 – 3 4cos 27 – 3 :    
   
 
a) sen (9°) b) tg (9°) c) cos (9°) d) sec (9°) e) cossec (9°) 
 
38. (Ita 2011) a)Calcule 
2 2cos sen cos 2sen cos sen .
5 5 10 5 5 10
      
  
 
 
b) Usando o resultado do item anterior, calcule sen cos .
10 5
 
 
 
39. (Ime 2010) Considere a sequência , 
, 
,....... 
Determine o produto dos 20 primeiros termos dessa sequência. 
 
40. (Ita 2003) Considere um quadrado ABCD. Sejam E o ponto 
médio do segmento CD e F um ponto sobre o segmento CE tal que 
m(BC) + m(CF) = m(AF). Prove que cos = cos 2, sendo os 
ângulos  = BÂF e  = EÂD. 
 
 
 
 
 
41. Calcule: 
a) cos cos cos cos cos cos
     2 4 8 16 32
65 65 65 65 65 65
 
b) cos cos cos cos cos cos cos
      2 3 4 5 6 7
15 15 15 15 15 15 15
 
 
42.. Dado que       ntg tg ... tg      1 1 1 2 1 45 2 , determine n. 
 
43. Prove que: 
cos
...
sen sen sen sen sen sen sen

  
      2
1 1 1 1
1 2 2 3 89 90 1
 
 
Gabarito: 
 
3. 
a e c) 
5 1
4

 b e d)
10 2 5
4

 e) 
10 2 5
4 
f) 
5 1
4
 
4. sen
4 10 2 5
9
8
 
  , cos
4 10 2 5
9
8
 
  
6. 15° e 75° 8. 2 
9. b) sen ;cos ;tg
6 2 6 2
15 15 15 2 3
4 4
 
       
10. a) 0,5 b)0,8 
13. ;
30 6 5 5 1 10 2 5 15 3
8 8
     
 
18. a) 
16
65
 b) 
33
65
 c) 
63
16
 19. a) 
4 2
9
 b)
7
9
 20. ;
4 11
3 2
 
21. a)
1
4
 b) 2 c) 3 d)
1
4
 e)
1
8
 f)4 g)
1
2
 h)
; ;
 

6 2 6 2
2 3
4 4
 
 
23. [B] 24. [A] 25. [B] 26. [C] 27. [C] 28. [C] 29. [C] 
30. [C] 31. [C] 32. a) 
5
2
 b) 
3 10
10
 33. [D] 
34. a) (1 - 4 sen2 θ) cos θ b) (4 cos2 θ - 1) sen θ c) 
3
π 
 
 
 
35. tg 3 3.α e 
21
sen .
7
θ 36. [E] 37. [B] 
38. a) 0 b) 1/4 
39. 
40. demonstração 41. a) 
1
64
 b) 
1
128 
42. 23 
 
 
1
1 1 1
a
2 2 2
 
2
1 1 1 1 1
a
2 2 2 2 2
   3
1 1 1 1 1 1 1
a
2 2 2 2 2 2 2
   
20
k 1 21
k 1
19
1 3
cos .
6 2 2 .sen
6 2


 
 
 


π
π