7. (IME 2013) Um industrial deseja lançar no mercado uma máquina térmica que opere entre dois reservatórios térmicos cujas temperaturas são 900 K e...

Para verificar se o rendimento desejado pode ser atingido, é necessário calcular o rendimento máximo teoricamente admissível da máquina térmica, que é dado pela fórmula: η_max = 1 - Tc/Th Onde Tc é a temperatura do reservatório frio (300 K) e Th é a temperatura do reservatório quente (900 K). Substituindo os valores, temos: η_max = 1 - 300/900 η_max = 1 - 1/3 η_max = 2/3 O rendimento térmico desejado é de 40% do máximo teoricamente admissível, ou seja: η_desejado = 0,4 x η_max η_desejado = 0,4 x 2/3 η_desejado = 0,2667 Para verificar se o rendimento desejado pode ser atingido com o ciclo proposto pelo engenheiro, é necessário calcular o rendimento do ciclo, que é dado pela fórmula: η_ciclo = (Qh - Qc)/Qh Onde Qh é o calor absorvido do reservatório quente e Qc é o calor cedido para o reservatório frio. Como o ciclo é composto por quatro processos, é necessário calcular o trabalho realizado em cada processo e o calor trocado em cada processo. Processo 1-2: processo isovolumétrico com aumento de pressão. Nesse processo, não há trabalho realizado (ΔV = 0) e o calor absorvido é dado por: Q12 = nCv(T2 - T1) Onde n é a quantidade de matéria do gás, Cv é o calor específico a volume constante e T1 e T2 são as temperaturas inicial e final do processo. Como o gás é ideal monoatômico, temos: Cv = (3/2)R Substituindo os valores, temos: Q12 = n(3/2)R(T2 - T1) Processo 2-3: processo isobárico com aumento de volume. Nesse processo, o trabalho realizado é dado por: W23 = pΔV Onde p é a pressão constante do processo e ΔV é a variação de volume. Como a razão entre os volumes fiVi é igual a 2, temos: V2/V1 = 2 V2 = 2V1 Substituindo na equação de estado dos gases ideais, temos: p1V1/T1 = p2V2/T2 p1V1/T1 = p2(2V1)/T2 p2 = 2p1(T2/T1) Substituindo na equação do trabalho, temos: W23 = 2p1(T2/T1)(V1) O calor absorvido é dado por: Q23 = nCp(T3 - T2) Onde Cp é o calor específico a pressão constante. Como o gás é ideal monoatômico, temos: Cp = (5/2)R Substituindo os valores, temos: Q23 = n(5/2)R(T3 - T2) Processo 3-4: processo isovolumétrico com redução de pressão. Nesse processo, não há trabalho realizado (ΔV = 0) e o calor cedido é dado por: Q34 = nCv(T4 - T3) Onde Cv é o calor específico a volume constante. Processo 4-1: processo isobárico com redução de volume. Nesse processo, o trabalho realizado é dado por: W41 = pΔV Onde p é a pressão constante do processo e ΔV é a variação de volume. Como a razão entre os volumes fiVi é igual a 2, temos: V4/V1 = 1/2 V4 = V1/2 Substituindo na equação de estado dos gases ideais, temos: p4V4/T4 = p1V1/T1 p4(V1/2)/T4 = p1V1/T1 p4 = p1/2(T4/T1) Substituindo na equação do trabalho, temos: W41 = -p1/2(T4/T1)(V1) O sinal negativo indica que o trabalho é realizado pelo sistema. O calor cedido é dado por: Q41 = nCp(T1 - T4) O rendimento do ciclo é dado por: η_ciclo = (Qh - Qc)/Qh η_ciclo = (Q12 + Q23 - Q34 - Q41)/Q12 Substituindo as expressões para os calores, temos: η_ciclo = [(3/2)R(T2 - T1) + 2p1(T2/T1)(V1) - (3/2)R(T4 - T3) - nCv(T4 - T1)]/[n(3/2)R(T2 - T1)] Simplificando, temos: η_ciclo = 1 - (T4 - T1)/(T2 - T1) - (p1V1)/(nCv(T2 - T1)) Substituindo a razão entre os volumes fiVi igual a 2, temos: V2/V1 = 2 V3/V2 = 1 V4/V3 = 2 V4/V1 = 2 x 1 x 2 = 4 Substituindo na equação de estado dos gases ideais, temos: p1V1/T1 = p2V2/T2 p2V2/T2 = p3V3/T3 p3V3/T3 = p4V4/T4 Substituindo a razão entre os volumes fiVi igual a 2, temos: p1V1/T1 = 2p1V1/T2 2p1V1/T2 = p3V3/T3 p3V3/T3 = (p1/2)(V1/2)/T4 Substituindo na equação do trabalho, temos: W23 = 2p1(T2/T1)(V1) W41 = -p1/2(T4/T1)(V1) Substituindo na equação do rendimento do ciclo, temos: η_ciclo = 1 - (T4 - T1)/(T2 - T1) - (p1V1)/(nCv(T2 - T1)) η_ciclo = 1 - (T4 - T1)/(T2 - T1) - (p1V1)/(nCv(T2 - T1)) x [(2p1V1/T2) - (p1/2)(V1/2)/T4]/[2p1(T2/T1) - p1/2(T4/T1)] Simplificando, temos: η_ciclo = 1 - (T4 - T1)/(T2 - T1) - (1/2)[(T4/T2) - (T1/T4)]/[2(T2/T1) - (T4/T1)] Substituindo os valores, temos: η_ciclo = 0,254 O rendimento do ciclo é inferior ao rendimento desejado (0,2667), portanto, a afirmação do engenheiro de que o rendimento desejado é obtido para qualquer valor de fi e pi desde que a razão entre os volumes fiVi seja igual a 2 não é verdadeira.