10. Se P é o incentro do triângulo ABC e BPC =125°, determine A.

Para resolver esse problema, precisamos usar a propriedade do incentro, que diz que o incentro é equidistante aos lados do triângulo. Vamos chamar de I o incentro do triângulo ABC. Como o ângulo BPC mede 125°, temos que o ângulo BIC mede 360° - 125° = 235°. Como o ângulo BIC é a soma dos ângulos BAI e CAI, temos que: BAI + CAI = BIC/2 BAI + CAI = 235°/2 BAI + CAI = 117,5° Mas como I é o incentro, temos que AI é perpendicular a BC, e portanto, o ângulo BAI é igual a (180° - B)/2, onde B é o ângulo oposto ao lado BC. De forma análoga, temos que o ângulo CAI é igual a (180° - C)/2, onde C é o ângulo oposto ao lado AC. Substituindo esses valores na equação acima, temos: (180° - B)/2 + (180° - C)/2 = 117,5° 360° - B - C = 235° B + C = 125° Mas a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então temos: A + B + C = 180° A + 125° = 180° A = 55° Portanto, o ângulo A mede 55°.