04 24 (Lista - Pontos notáveis no triângulo) - MED TETRA HT HN

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Prof. Anderson Weber 
Matemática 
 
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Lista de Exercícios – Pontos Notáveis em um Triângulo 
 
1ª Parte 
1. Determine a distância do baricentro ao 
circuncentro de um triangulo retângulo de 
hipotenusa 24cm. 
2. Determine a distância entre o ortocentro e o 
baricentro em um triângulo retângulo de hipotenusa 
60cm. 
3. Num triângulo ABC, retângulo em A, a mediana 
AM intercepta a bissetriz interna de B em D. 
Determine a medida do ângulo BDM em função do 
ângulo de vértice B do triângulo ABC. 
4. Num triangulo ABC, onde a diferença entre os 
ângulos B e C é de 40°. Calcule o menor ângulo 
formado pela altura e pela bissetriz de A. 
5.Num triângulo ABC, as bissetrizes internas dos 
ângulos B e C formam um ângulo de 126°. Qual o 
menor ângulo formado pelas alturas que parte de B 
e C? 
6.O triângulo MNP é tal que M=80° e P=60°. A 
medida do ângulo formado pela bissetriz do ângulo 
interno N com a bissetriz do ângulo externo P é: 
a) 20° 
b) 30° 
c) 40° 
d) 50° 
e) 60° 
7. ABCD é um paralelogramo, M é o ponto médio do 
lado AB , P é o ponto de intersecção entre a 
diagonal AC e o segmento DM. Sendo DP = 16, 
determine a medida PM. 
8. Sendo H o ortocentro do triângulo ABC e BHC
=150°, determine a medida do ânguo de ABC com 
vértice em A. 
9. Se H é o ortocentro de um triângulo isósceles 
ABC de base BC e BHC =50°, determine os 
ângulos do triângulo. 
10. Se P é o incentro do triângulo ABC e BPC
=125°, determine A. 
11. O circuncentro de um triângulo isósceles é 
interno ao triângulo e duas mediatrizes formam um 
ângulo de 50°. Determine os ângulos desse 
triângulo. 
12. Em um triângulo ABC os ângulos A e B medem, 
respectivamente, 70° e 60°. Determine a razão entre 
os dois maiores ângulos formados pelas 
intersecções das três alturas. 
13. Em um triângulo ABC, os ângulos A e B medem, 
respectivamente, 86° e 34°. Determine o ângulo 
formado pela mediatriz relativa ao lado BC e pela 
bissetriz do ângulo C. 
14. Num triângulo ABC, ACB = 120°, CD é a 
bissetriz do ACB e o ponto D está sobre AB . 
Prove que: 1 1 1
CD AC BC
  
15. (Unicamp 2019) No triângulo ABC exibido na 
figura a seguir, AD é a bissetriz do ângulo interno 
em A, e AD DB. 
 
 
 
O ângulo interno em A é igual a 
a) 60 . 
b) 70 . 
c) 80 . 
d) 90 . 
 
 
2ª Parte 
 
16. (Colégio Naval 2017) Analise as afirmativas a 
seguir. 
I. Sejam a, b e c os lados de um triângulo, com 
c b a.  Pode-se afirmar que 2 2 2c a b  se, e 
somente se, o triângulo for retângulo. 
II. Se um triângulo é retângulo, então as bissetrizes 
internas dos ângulos agudos formam entre si um 
ângulo de 45 ou 135 . 
III. O centro de um círculo circunscrito a um 
triângulo retângulo está sobre um dos catetos. 
IV. O baricentro de um triângulo retângulo é 
equidistante dos lados do triângulo. 
 
Assinale a opção correta. 
a) Somente I e II são verdadeiras. 
b) Somente II e III são verdadeiras. 
c) Somente I e IV são verdadeiras. 
d) Somente I, II e IV são verdadeiras. 
e) As afirmativas I, II, III e IV são verdadeiras. 
 
 
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17. (Escola Naval 2016) Um triângulo inscrito em 
um círculo possui um lado de medida 42 3 oposto 
ao ângulo de 15 . O produto do apótema do 
hexágono regular pelo apótema do triângulo 
equilátero inscritos nesse círculo é igual a: 
a) 3( 3 2) 
b) 4(2 3 3) 
c) 8 3 12 
d) 2(2 3 3) 
e) 6( 2 1) 
 
18. (Unesp 2013) Um aluno precisa localizar o 
centro de uma moeda circular e, para tanto, dispõe 
apenas de um lápis, de uma folha de papel, de uma 
régua não graduada, de um compasso e da moeda. 
 
 
 
Nessas condições, o número mínimo de pontos 
distintos necessários de serem marcados na 
circunferência descrita pela moeda para localizar 
seu centro é 
a) 3. 
b) 2. 
c) 4. 
d) 1. 
e) 5. 
 
19. (Reta de Euler) Mostre que em qualquer 
triângulo, o ortocentro, o baricentro e o circuncentro 
são colineares (estão na mesma reta). 
20. Na figura abaixo, o triângulo é retângulo e as 
quatro circunferências são tangentes entre si e 
também tangenciam um dos lados do triângulo (no 
caso das duas centrais) ou dois lados do triângulo 
(no caso das duas extremas). Sabendo-se que os 
catetos deste triângulo medem 3 e 4 determine a 
medida do raio das circunferências. Ah! As medidas 
dos raios são iguais e o cateto de medida 4 é 
aquele que tangencia as quatro circunferências. 
Sugestão: Calcule a área do triângulo em função do 
raio. 
 
 
 
 
GABARITO: 
1.4 cm 2.20cm 3.3B/2 4.20° 5.72° 6.c 
7. 8 8. 30° 9. 25°, 25° e 130° 10. 70° 
11. (50°, 50° e 80°) ou (65°, 65° e 50°) 
12. 
13 12
12 13
ou 13. 60° 14.C 15.A 16. A 
17. A 19.
2
5