Consideremos um triângulo retângulo que simultaneamente está circunscrito à circunferência C1 e inscrito à circunferência C2. Sabendo-se que a soma...

Vamos resolver essa questão de geometria: Seja ABC um triângulo retângulo, com hipotenusa BC, e seja O o ponto de interseção das diagonais AC e BD do retângulo ABCD. Seja r o raio da circunferência C2 e R o raio da circunferência C1. Como o triângulo ABC é retângulo, temos que AB² + AC² = BC². Como AC é um diâmetro da circunferência C2, temos que AB é tangente a C2. Da mesma forma, BC é tangente a C1. Assim, temos que AB = r e BC = R. Pelo teorema de Pitágoras, temos que: AB² + AC² = BC² r² + AC² = R² Como AC é um diâmetro da circunferência C2, temos que AC = 2r. Substituindo na segunda equação, temos: r² + (2r)² = R² r² + 4r² = R² 5r² = R² R = √5r A soma dos comprimentos das circunferências C1 e C2 é dada por: 2πR + 2πr = 2π(√5r) + 2πr = 2π(√5r + r) Como a soma dos comprimentos dos catetos do triângulo é k, temos que: AB + AC = r + 2r = 3r BC = R = √5r Assim, k = 3r + √5r = (3 + √5)r. Logo, r = k/(3 + √5). Substituindo na expressão para a soma dos comprimentos das circunferências, temos: 2π(√5r + r) = 2π(√5(k/(3 + √5)) + k/(3 + √5)) = 2πk(√5 + 1)/(3 + √5) Portanto, a alternativa correta é a letra A) 2√3 cm.