Consideremos um triângulo retângulo que simultaneamente está circunscrito à circunferência C1 e inscrito na circunferência C2. Sabendo-se que a som...

Vamos utilizar o Teorema de Pitágoras para resolver o problema. Seja a e b os comprimentos dos catetos e c o comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo. Temos que: a² + b² = c² Como o triângulo está circunscrito à circunferência C1, temos que a hipotenusa c é igual ao diâmetro dessa circunferência. Logo: c = 2r1 Onde r1 é o raio da circunferência C1. Da mesma forma, como o triângulo está inscrito na circunferência C2, temos que os catetos a e b são tangentes a essa circunferência. Logo: a = r2 b = r2 Onde r2 é o raio da circunferência C2. Substituindo essas informações na equação do Teorema de Pitágoras, temos: r2² + r2² = (2r1)² 2r2² = 4r1² r2² = 2r1² Agora, vamos calcular a soma dos comprimentos das duas circunferências: C1 + C2 = 2πr1 + 2πr2 C1 + C2 = 2πr1 + 2π√(2r1²) C1 + C2 = 2πr1 + 2πr1√2 C1 + C2 = 2πr1(1 + √2) Substituindo r2² = 2r1², temos: C1 + C2 = 2πr1(1 + √2) C1 + C2 = 2π√(r2²/2)(1 + √2) C1 + C2 = 2πr2(√2 + 1) Agora, substituindo a + b = k, temos: C1 + C2 = 2πr2(√2 + 1) C1 + C2 = 2π(a + b)(√2 + 1) C1 + C2 = 2πk(√2 + 1) Portanto, a soma dos comprimentos das duas circunferências é 2πk(√2 + 1), que corresponde à alternativa (E).