42. Numa circunferência C1 de raio r1 = 3 cm está inscrito um hexágono regular H1; em H1 está inscrita uma circunferência C2; em C2 está inscrito u...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a fórmula para calcular a área de um hexágono regular, que é A = 3√3/2 * L², onde L é o lado do hexágono. No hexágono H1, o lado L1 é igual ao diâmetro da circunferência C2, que é igual a r1 = 3 cm. Portanto, a área de H1 é A1 = 3√3/2 * (3 cm)² = 27√3 cm². No hexágono H2, o lado L2 é igual ao diâmetro da circunferência C3, que é igual a r2 = r1/2 = 3/2 cm. Portanto, a área de H2 é A2 = 3√3/2 * (3/2 cm)² = 27√3/4 cm². Podemos observar que o lado do hexágono Hn é igual a r1/2^(n-1), e portanto a área de Hn é An = 3√3/2 * (r1/2^(n-1))^2 = 27√3/4 * 1/2^(2n-2) cm². Assim, a soma das áreas de todos os hexágonos é dada por: ∑ An = A1 + A2 + A3 + ... = 27√3 + 27√3/4 + 27√3/16 + ... = 54√3 cm². Portanto, a alternativa correta é a letra b) 54√3.