16. (Fuvest) O ângulo θ formado por dois planos α e β é tal que tg(θ) = 5/5. O ponto P pertence a α e a distância de P a β vale 1. Então, a di...

Para resolver essa questão, podemos utilizar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta. Primeiro, precisamos encontrar a equação da reta de intersecção entre os planos α e β. Para isso, podemos escolher um ponto pertencente a essa reta, que também pertença aos dois planos. Como o ponto P pertence a α, podemos escolhê-lo como esse ponto. Então, a reta de intersecção passa por P e é perpendicular aos dois planos. Podemos encontrar um vetor diretor dessa reta fazendo o produto vetorial dos vetores normais dos planos α e β. Assim, temos: nα = (1, 0, -1) nβ = (1, 1, 0) nα x nβ = (-1, -1, -1) Um vetor diretor da reta de intersecção é (-1, -1, -1). Como a reta passa por P = (x0, y0, z0), sua equação vetorial é dada por: r = P + t(-1, -1, -1) Agora, precisamos encontrar o valor de t para o qual a distância entre o ponto P e a reta r seja mínima. Para isso, podemos projetar o vetor PP' (onde P' é a projeção de P sobre r) no vetor diretor da reta. Como PP' é perpendicular a r, essa projeção é simplesmente a distância entre P e r. Então, temos: PP' . (-1, -1, -1) = 0 (x0 - t) + (y0 - t) + (z0 - t) = 0 x0 + y0 + z0 - 3t = 0 t = (x0 + y0 + z0)/3 Agora, precisamos encontrar as coordenadas de P. Sabemos que a distância de P a β é 1, então podemos escolher um ponto Q pertencente a β que esteja a uma distância de 1 de P. Podemos escolher, por exemplo, o ponto Q = (0, 1, 0). Então, a equação do plano β é dada por: x + y = 1 Substituindo as coordenadas de P nessa equação, temos: x0 + y0 = 1 Agora, podemos usar a informação de que tg(θ) = 5/5 para encontrar a inclinação dos planos α e β. Sabemos que a tangente de um ângulo é igual à razão entre as medidas dos catetos oposto e adjacente a esse ângulo. Como θ é o ângulo entre os planos α e β, podemos escolher um vetor que esteja contido em α e outro que esteja contido em β, e calcular a tangente do ângulo entre esses vetores. Podemos escolher, por exemplo: vα = (1, 0, 1) vβ = (1, -1, 0) vα e vβ são perpendiculares aos planos α e β, respectivamente. Então, temos: tg(θ) = |vα . vβ| / (|vα| |vβ|) 5/5 = |vα . vβ| / (|vα| |vβ|) |vα . vβ| = |vα| |vβ| (vα . vβ)² = (vα)² (vβ)² (1*1 + 0*(-1) + 1*0)² = (1² + 0² + 1²) (1² + (-1)² + 0²) 1 = 2 Isso é uma contradição, o que significa que a hipótese de que tg(θ) = 5/5 está errada. Portanto, não há solução para essa questão. A resposta correta é letra E (não há solução).