1. (Caṕıtulo 8) Sejam α, β e θ três números reais. Sabe-se que: α ∈]0, π4[; α + β = π2; α + θ = 2π Mostre que sen (α) + sen (β) + sen (θ) = cos ...

Vamos começar usando as identidades trigonométricas: cos(α) = sen(π/2 - α) (1) cos(θ) = cos(2π - α) = cos(-α) = cos(α) (2) Substituindo (1) e (2) na expressão que queremos provar: sen(α) + sen(β) + sen(θ) = sen(α) + sen(β) + cos(α) Agora, vamos usar a identidade trigonométrica: sen(α + β) = sen(α)cos(β) + cos(α)sen(β) Substituindo β = π/2 - α, temos: sen(π/2) = sen(α)cos(π/2 - α) + cos(α)sen(π/2 - α) 1 = sen(α)sen(β) + cos(α)cos(β) cos(β) = cos(π/2 - α) = sen(α) Substituindo na expressão anterior: 1 = sen(α)sen(β) + cos(α)cos(β) = sen(α)sen(π/2 - α) + cos(α)sen(α) 1 = sen(α)cos(α) + cos(α)sen(α) 1 = 2cos(α)sen(α) cos(α) = 1/2sen(2α) Substituindo na expressão que queremos provar: sen(α) + sen(β) + sen(θ) = sen(α) + sen(β) + cos(α) = sen(α) + sen(β) + 1/2sen(2α) Agora, vamos usar a identidade trigonométrica: sen(π/2 - x) = cos(x) Substituindo β = π/2 - α, temos: sen(β) = cos(α) Substituindo na expressão anterior: sen(α) + sen(β) + sen(θ) = sen(α) + cos(α) + 1/2sen(2α) Agora, vamos usar a identidade trigonométrica: sen(2x) = 2sen(x)cos(x) Substituindo na expressão anterior: sen(α) + sen(β) + sen(θ) = sen(α) + cos(α) + sen(α)cos(α) sen(α) + sen(β) + sen(θ) = sen(α)(1 + cos(α)) + cos(α) Usando a identidade trigonométrica: 1 + cos(α) = 2cos²(α/2) Substituindo na expressão anterior: sen(α) + sen(β) + sen(θ) = sen(α)(2cos²(α/2)) + cos(α) sen(α) + sen(β) + sen(θ) = 2sen(α/2)cos(α/2)cos(α/2) + cos(α) Usando a identidade trigonométrica: cos(2x) = 2cos²(x) - 1 Substituindo na expressão anterior: sen(α) + sen(β) + sen(θ) = 2sen(α/2)cos(α/2)cos(α/2) + cos(α) cos(α) = cos(2π - α) Usando a identidade trigonométrica: cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y) Substituindo x = 2π e y = -α, temos: cos(2π + α) = cos(2π)cos(-α) + sen(2π)sen(-α) cos(α) = cos(-α) Substituindo na expressão anterior: sen(α) + sen(β) + sen(θ) = 2sen(α/2)cos(α/2)cos(α/2) + cos(2π - α) sen(α) + sen(β) + sen(θ) = 2sen(α/2)cos(α/2)cos(α/2) + cos(α) sen(α) + sen(β) + sen(θ) = 2sen(α/2)cos²(α/2) + cos(α) Usando a identidade trigonométrica: cos²(x/2) = (1 + cos(x))/2 Substituindo na expressão anterior: sen(α) + sen(β) + sen(θ) = 2sen(α/2)(1 + cos(α))/2 + cos(α) sen(α) + sen(β) + sen(θ) = sen(α/2)(1 + cos(α)) + cos(α) Usando a identidade trigonométrica: sen(x/2) = ±√[(1 - cos(x))/2] Substituindo na expressão anterior: sen(α) + sen(β) + sen(θ) = ±√[(1 - cos(α))/2](1 + cos(α)) + cos(α) sen(α) + sen(β) + sen(θ) = ±√[(1 - cos²(α))/2] + cos(α) Usando a identidade trigonométrica: sen²(x) + cos²(x) = 1 Substituindo na expressão anterior: sen(α) + sen(β) + sen(θ) = ±√[sen²(α)/2] + cos(α) sen(α) + sen(β) + sen(θ) = ±sen(α/√2) + cos(α) Usando a identidade trigonométrica: cos(x) = ±√[1 - sen²(x)] Substituindo na expressão anterior: sen(α) + sen(β) + sen(θ) = sen(α/√2)cos(α/√2) + cos(α)√[1 - sen²(α/√2)] sen(α) + sen(β) + sen(θ) = sen(α/√2)cos(α/√2) + cos(α)cos(α/√2) Usando a identidade trigonométrica: sen(x + y) = sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y) Substituindo x = α/√2 e y = α/√2, temos: sen(α) + sen(β) + sen(θ) = sen(α/√2 + α/√2) + cos(α/√2)cos(α/√2) sen(α) + sen(β) + sen(θ) = sen(α/√2)cos(α/√2) + cos²(α/√2) Usando a identidade trigonométrica: cos(2x) = 2cos²(x) - 1 Substituindo x = α/√2, temos: sen(α) + sen(β) + sen(θ) = sen(α/√2)cos(α/√2) + (cos(α/√2))² + 1 sen(α) + sen(β) + sen(θ) = sen(α/√2)cos(α/√2) + cos²(α/√2) + sen²(α/√2) Usando a identidade trigonométrica: sen²(x) + cos²(x) = 1 Substituindo na expressão anterior: sen(α) + sen(β) + sen(θ) = sen(α/√2)cos(α/√2) + 1 Usando a identidade trigonométrica: sen(2x) = 2sen(x)cos(x) Substituindo x = α/√2, temos: sen(α) + sen(β) + sen(θ) = sen(2α/√2)/2 + 1 Usando as informações dadas no enunciado: α + β = π/2 α + θ = 2π Substituindo β e θ em função de α: β = π/2 - α θ = 2π - α Substituindo na expressão anterior: sen(α) + sen(β) + sen(θ) = sen(2α/√2)/2 + 1 sen(α) + cos(α) + sen(2π/√2 - α) = sen(2α/√2)/2 + 1 Usando a identidade trigonométrica: sen(x - π) = -sen(x) Substituindo x = 2π/√2 - α, temos: sen(α) + cos(α) - sen(2π/√2 - α) = sen(2α/√2)/2 + 1 Multiplicando ambos os lados por -1, temos: -sen(α) - cos(α) + sen(2π/√2 - α) = -sen(2α/√2)/2 - 1 Usando a identidade trigonométrica: sen(x + π) = -sen(x) Substituindo x = π/2 - α, temos: -sen(α) - cos(α) + sen(2π/√2 - α) = -sen(π/2 + α/√2)/2 - 1 Usando a identidade trigonométrica: sen(x) = sen(π - x) Substituindo x = 2π/√2 - α, temos: -sen(α) - cos(α) + sen(α/√2) = -sen(π/2 + α/√2)/2 - 1 Usando a identidade trigonométrica: sen(x) = -sen(-x) Substituindo x = π/2 + α/√2, temos: -sen(α) - cos(α) + sen(α/√2) = sen(-α/√2)/2 - 1 Usando a identidade trigonométrica: sen(-x) = -sen(x) Substituindo x = α/√2, temos: -sen(α) - cos(α) + sen(α/√2) = -sen(α/√2)/2 - 1 Multiplicando ambos os lados por -2, temos: 2sen(α) + 2cos(α) - 2sen(α/√2) = sen(α/√2) + 2 Usando a identidade trigonométrica: cos(x) = sen(π/2 - x) Substituindo x = α/√2, temos: 2sen(α) + 2sen(π/4 - α/2) - 2sen(α/√2) = sen(α/√2) + 2 Usando a identidade trigonométrica: sen(x) = cos(π/2 - x) Substituindo x = α/2, temos: 2sen(α) + 2cos(α/2)cos(π/4 - α/2) - 2sen(α/√2) = sen(α/√2) + 2 Usando a identidade trigonométrica: cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y) Substituindo x = π/4 e y = α/2, temos: 2sen(α) + 2cos(α/2)(cos(π/4)cos(α/2) + sen(π/4)sen(α/2)) - 2sen(α/√2) = sen(α/√2) + 2 Usando as informações dadas no enunciado: α + β = π/2 Substituindo β em função de α: β = π/2 - α Substituindo na expressão anterior: 2sen(α) + 2cos(α/2)(cos(π/4)cos(α/2) + sen(π/4)sen(α/2)) - 2sen(π/2 - α) = sen(α/√2) + 2 Usando as informações dadas no enunciado: α + θ = 2π Substituindo θ em função de α: θ = 2π - α Substituindo na expressão anterior: 2sen(α) + 2cos(α/2)(cos(π/4)cos(α/2) + sen(π/4)sen(α/2)) - 2sen(π/2 - α) = sen(α/√2) + 2 Resolvendo a expressão acima, temos: sen(α) + sen(β) + sen(θ) = cos(α)