12. (Uece 2019) Se dois círculos cujas medidas dos raios são respectivamente u e v com u v são tangentes exteriormente no ponto P e se estes círcu...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras e a semelhança de triângulos. Primeiro, vamos traçar o segmento PN, que é perpendicular ao segmento MP, como mostra a figura abaixo:  Note que o triângulo PMN é retângulo em N e o triângulo PNM é retângulo em M. Além disso, temos que: - PN = u - v (diferença dos raios dos círculos) - PM = x (comprimento do segmento MP) Pelo Teorema de Pitágoras, temos: - PN² + NM² = PM² - (u - v)² + (u + v)² = x² - u² - 2uv + v² + u² + 2uv + v² = x² - 2u² + 2v² = x² Logo, x = √(2u² + 2v²) Agora, vamos analisar a semelhança dos triângulos PMN e PMB:  Note que esses triângulos são semelhantes, pois têm um ângulo em comum (ângulo NPM) e os outros dois ângulos são retos. Portanto, temos a seguinte proporção: - PM/PN = PB/PM - x/(u - v) = v/x - x² = u v - v² - x² + v² = u v - 2u² + 2v² + 2v² = u v (substituindo x² por u v - v²) - 2u² + 4v² = u v - 2v² = u v - 2u² - v² = (u v - 2u²)/2 Assim, substituindo v² na expressão de x, temos: - x = √(2u² + u v - 2u²) - x = √(u v) Portanto, a alternativa correta é a letra C) uv.