(Uece 2019) Se dois círculos cujas medidas dos raios são respectivamente u e v com u v são tangentes exteriormente no ponto P e se estes círc...

A alternativa correta é a letra d) 2(uv)/(v-u). Para resolver esse problema, podemos usar a propriedade de que a reta que liga os pontos de tangência de dois círculos é perpendicular à reta que liga os centros dos círculos. Sejam O1 e O2 os centros dos círculos de raios u e v, respectivamente, e seja T o ponto de tangência entre os dois círculos. Seja também N o ponto de tangência entre o círculo de raio u e o lado do ângulo com vértice em M, e seja Q o ponto de tangência entre o círculo de raio v e o mesmo lado do ângulo. Temos que OT é perpendicular a MN, e que ON é perpendicular a MQ. Além disso, temos que OT = u + v, e que MN = MQ + NQ = u + v - MP. Usando o teorema de Pitágoras no triângulo ONP, temos que NP^2 = OP^2 - ON^2 = (u + v)^2 - u^2 = 2uv + v^2. Usando o teorema de Pitágoras no triângulo MNP, temos que MP^2 = NP^2 - MN^2 = 2uv + v^2 - (u + v - MP)^2 = 4uv/(v-u)^2. Portanto, MP = 2uv/(v-u).